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\ifoot{Julian Bergmann}
\cfoot{24.10.2009}
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\renewcommand{\arraystretch}{0.8}\begin{document}
\section{Übung zu Informatik zum 29.10.2009 Blatt 1}
\begin{quote}
\subsection{}
\begin{itemize}
\item[1.]
\begin{align*}
a+2&=b^2\\
a+11&=(b+1)^2\\ \\
a+11&=a+2+2\sqrt{a+2}+1\\
11&=3+2\sqrt{a+2}\\
16&=a+2\\
a&=14\\
\end{align*}
\item[2.]
\begin{align*}
&12_{14}=16_{10}\\
&1B_{14}=25_{10}\\
\\
&36_{10}=2\cdot14+8\cdot1=28_{14}\\
&49_{10}=3\cdot14+7\cdot1=37_{14}\\
&64_{10}=4\cdot14+8\cdot1=48_{14}\\
\end{align*}
\item[3.]
\begin{align*}
&105_6=36+5=41_{10} &\mbox{ Primzahl}\\
&105_7=49+5=54_{10} &\mbox{ keine Primzahl}\\
&105_8=64+5=69_{10} &\mbox{ keine Primzahl}\\
&105_9=81+5=86_{10} &\mbox{ keine Primzahl}\\
&105_{10} &\mbox{ keine Primzahl}\\
&105_{11}=121+5=126_{10} &\mbox{ keine Primzahl}\\
&105_{12}=144+5=149_{10} &\mbox{ Primzahl}\\
\end{align*}
Zahlensysteme: 6 und 12
\end{itemize}
\newpage \subsection{}
\begin{itemize}
\item[1.]
\begin{align*}
&11001100_2=2^7+2^6+2^3+2^2=204_{10}\\
&F3A_{16}=15\cdot16^2+3\cdot16+10\cdot1=3898_{10}\\
&77_{10}=1\cdot1+0\cdot2+1\cdot2^2+1\cdot2^3+0\cdot2^4+0\cdot2^5+1\cdot2^6=1001101_2\\
&ABBA_{16}=10\cdot16^3+11\cdot16^2+11\cdot16+10=43962_{10}\\
&=0\cdot1+1\cdot2+0\cdot2^2+1\cdot2^3+1\cdot2^4+1\cdot2^5+0\cdot2^6+1\cdot2^7+1\cdot2^8+1\cdot2^9\\
&+0\cdot2^{10}+1\cdot2^{11}+0\cdot2^{12}+1\cdot2^{13}+0\cdot2^{14}+1\cdot2^{15}\\
&=1010101110111010_{2}\\
\end{align*}
\item[2.]
\begin{align*}
&57_{10}=00111001_2\\
&13_{10}=00001101_2\\
&13_{10}-57_{10}=00001101_2+11000110_2+00000001_2=11010100_2\\
\end{align*}
\item[3.]Multiplikation:
\begin{figure}[h]
\centering{
		\includegraphics[width=0.5\textwidth]{binaer_mult.png}}
\end{figure}
\end{itemize}
\newpage \subsection{}
\begin{itemize}
\item[1.]
\begin{align*}
&2a:=\mbox{2-adisch}\\
&21212_{2a}+12211_{2a} = 2+1\cdot2+2\cdot2^2+1\cdot2^3+2\cdot2^4 + 1+1\cdot2+2\cdot2^2+2\cdot2^3+1\cdot2^4 = 95_{10}\\
&95_{10}=2\cdot2^5+1\cdot2^4+1\cdot2^3+1\cdot2^2+1\cdot2^2+1\cdot2+1=211111_{2a}
\end{align*}
\item[2.]
\arraycolsep0pt
$\begin{array}[t]{rll}
\arraycolsep10pt
  &21&212\\
+ &12&211\\
U2&2&11\\
=2&11&111\\
\end{array}$

Grundsystem: $1+1=2$

Einfacher Übertrag: $1+2=2+1=1$ Übertrag 1

Zweifacher Übertrag: $2+2=2$ Übertrag nächste Spalte 1
\end{itemize}
\newpage \subsection{}
\begin{itemize}
\item[1.]$(1989-27)/9=1962/9=218$ , also Geburtsjahr - Quersumme durch 9 teilbar.

Beweis:

$abcd_{10}=a\cdot1000+b\cdot100+c\cdot10+d$

$=a\cdot999+a+b\cdot99+b+c\cdot9+c+d=a\cdot999+b\cdot99+c\cdot2+a+b+c+d$

Da die Quersumme von abcd a+b+c+d ist, ist also die Differenz von einer beliebiger Zahl und der Quersumme dessen:

$a\cdot999+b\cdot99+c\cdot9 +a+b+c+d -a-b-c-d = a\cdot999+b\cdot99+c\cdot9$

$(a\cdot999+b\cdot99+c\cdot9)/9=a\cdot111+b\cdot11+c$

Da die Division mit 9 im Allgemeinen ohne Rest durchführbar ist, ist jede Differenz einer beliebigen Zahl und ihrer Quersumme durch 9 teilbar.

Durch die strenge Gesetzmäßigkeit gilt der Beweis für beliebig lange Zahlen analog.
\end{itemize}
\newpage \subsection{}
\begin{itemize}
\item[1.]
\begin{align*}
\frac{1}{5}\cdot(x\EURE+yct)&=xct+\frac{1}{5}\cdot y\EURE\\
x\EURE+yct&=5xct+y\EURE\\
100xct+yct&=5xct+100yct\\
95xct &= 99yct\\
x&=\frac{99ct}{95ct}y\\
x&=99\\
y&=95\\
\end{align*}
Vorher: 99,95\EUR

Nachher: $\frac{\mbox{Vorher}}{5}$ = 19,99\EUR

Rechnung: 79,96\EUR
\end{itemize}
\end{quote}
\end{document}