<br />
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\chead{~~~~~~~~~~~~~~~~~~Mathematik für Physiker}
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\newtheorem{test}{Beispiel}[subsection]
\begin{document}
\pagenumbering{Roman}
\begin{center}
\Huge Mathematik für Physiker

\Large Analysis I

\small Skript zur Vorlesung von Prof. Dr. Lani-Wayda \renewcommand{\baselinestretch}{0.6}

\tiny Mitgeschrieben und gete$\chi$t von Julian Bergmann\normalsize
\renewcommand{\baselinestretch}{1}
\end{center}
\tableofcontents
\newpage
\pagenumbering{arabic} 
\section{Mengen \& Aussagen}
	\begin{quote}
	\begin{quote}

		Def:
			\begin{quote}
			Zusammenfassung von Objekten zu Mengen:
				\begin{quote}
				$M=\{1,2,3\}$
				
				$S=\{x|x$ ist nat. Zahl, $x>5\} = \{y\in\N |y>5 \}$
				\end{quote}
			Objekte einer Menge sind dessen Elemente.
	
			Beispiele: $2\in M$, $7\in S$, $5\notin S$

			Technisches Hilfmittel: Leere Menge $\emptyset$
			\end{quote}
	\end{quote}
	\subsection{Mengenbeziehungen/-operationen}
		\begin{quote}
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|l|p{11cm}|}
				\hline
				$A\subseteq B$ & \bfseries Inklusion;\normalfont
					
				\emph{A ist Teilmenge von B, B Obermenge von A.}

				\emph{Jedes Element von A ist auch Element von B. Auch $A\subset B$}\\ \hline
				$A\subset B$ & \bfseries Strikte Inklusion;\normalfont

				\emph{A ist Teilmenge von B aber $A
				\neq B$. Auch $A\abb{\subset}{\neq} B$}\\ \hline
				$A\cap B$ & \bfseries Durchschnitt, gelesen A Durchschnitt B;\normalfont

				$=\{x|x\in A$ und $x\in B\}$\\ \hline
				$A\cup B$ & \bfseries Vereinigung, gelesen A vereinigt B;\normalfont

				$=\{x|x\in A$ oder $x\in B\}$\\ \hline
				$A\setminus B$ & \bfseries Differenz, gelesen A minus/ohne B;\normalfont

				$=\{x|x\in A$ und $x\in B\}$\\ \hline
				$\complement A$ oder $A^C$ & \bfseries Komlement, gelesen Komplement von A;\normalfont

				\emph{Normalerweise auf eine Obermenge X bezogen $\complement _X A = X\setminus A$}\\ \hline
				$A \cap B= \emptyset$ & \emph{A und B haben kein gemeinsames Element}\\ \hline
				\end{tabular}
				\end{center}

%			\begin{floatingfigure}[l]{28cm}
%			\centering
%			\includegraphics{Maphy_Bilder/1_1_1.PNG}\hspace{1cm}
%			\includegraphics{Maphy_Bilder/1_1_2.PNG}
%			\end{floatingfigure}
	
		\parpic(5cm,4cm)(1cm,2.3cm)[r]{\includegraphics{Maphy_Bilder/1_1_1.PNG}\includegraphics{Maphy_Bilder/1_1_2.PNG}}
Bei einer Potenzmenge $P(A)=\{B|B\subset A\}$ gilt stets:
			\begin{quote}
			$\emptyset \subset A$, also $\emptyset \in P(A)$ und $A \in P(A)$  
			\end{quote}
		\end{quote}
	\subsection{Mathematische Aussagen}
		\begin{quote}
		Def:
			\begin{quote}
			Aussagen, denen sich "`vernünftig"' ein Wahrheitswert "`w"' oder "`f"' zuordnen lässt (auch, wenn dieser nicht bekannt ist).

			Beispiele: "`10 ist Primzahl"', "`$3>1$"'
			\end{quote}

		Aussagenoperation:	Negation $\neg$; Verknüpfung "`Und"' $\wedge$, "`Oder"' $\vee$

		Wahrheitstabellen:	Seien a, b Aussagen.
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
				\hline
				a&b&$\neg a$&$\neg b$&$a\wedge b$&$a\vee b$&$\neg a\vee b$&$a\Leftrightarrow b$\\ \hline
				w&w&f&f&w&w&w&w\\ \hline
				w&f&f&w&f&w&f&f\\ \hline
				f&w&w&f&f&w&w&f\\ \hline
				f&f&w&w&f&f&w&w\\ \hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			\begin{center}
				\begin{tabular}{l|l}
				Implikation: $a\Rightarrow b$		&Äquivalenz: $a\Leftrightarrow b$\\
				definiert als $\neg a \vee b$		&definiert als $(a\Rightarrow b)\wedge (b\Rightarrow a)$\\
				\end{tabular}
			\end{center}
		\end{quote}
	\subsection{Rechenregeln}
		\begin{quote}
		Definition:
			\begin{quote}
			Schlussregeln sind Aussagen, die stets den Wert "`w"' haben
	
			Seien a, b, c Aussagen; A, B, C, X Mengen; $(A\cup B\cup C)\subset X$.
			\end{quote}
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|p{3cm}|l|l|}
			\hline
			1. Assoziativität&$(a\vee b)\vee c \Leftrightarrow a\vee (b\vee c)$&$(A\cup B)\cup C\Leftrightarrow A\cup (B\cup C)$\\
			&$(a\wedge b)\wedge c \Leftrightarrow a\wedge (b\wedge c)$&$(A\cap B)\cap C\Leftrightarrow A\cap (B\cap C)$\\ \hline
			2. Distributivität&$a\wedge (b\vee c) \Leftrightarrow (a \wedge b)\vee (a\wedge c)$&$A\cap (B\cup C) 
			\Leftrightarrow (A \cap B)\cup (A\cap C)$\\
			&$a\vee (b\wedge c) \Leftrightarrow (a \vee b)\wedge (a\vee c)$&$A\cup (B\cap C) \Leftrightarrow (A \cup B)\cap (A\cup C)$\\ \hline	
			3. de Morgan-&$\neg (a\vee b)\Leftrightarrow \neg a \wedge \neg b$&$X\setminus (A\vee B) 
			\Leftrightarrow (X\setminus A)\wedge (X\setminus B)$\\
			sche Komplemen&$\neg (a\wedge b)\Leftrightarrow \neg a \vee \neg b$&$X\setminus (A\vee B) 
			\Leftrightarrow (X\setminus A)\wedge (X\setminus B)$\\
			tierungsregel&&$(A\cup B)^\complement \Leftrightarrow A^\complement \cap B^\complement$ \\ 
			&&$(A\cap B)^\complement \Leftrightarrow A^\complement \cup B^\complement$ \\ \hline	
			4. Kontraposition&$(a\Rightarrow b)\Leftrightarrow 
			(\neg b\Rightarrow \neg a)$&Falls $A \subseteq B$, so ($X\setminus B)\subseteq (X\setminus A))$\\
			&&bzw. $B^\complement \subseteq A^\complement$\\ \hline	
			\end{tabular}
	
		\parskip 12pt
			
		Exemplarischer Beweis für 4.:
		\parskip 6pt
	
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
			\hline
			a&b& $\neg a$ & $\neg b$ & $a\Rightarrow b$ & $\neg b \Rightarrow \neg a$\\ \hline
			F&F&W&W&W&W\\ \hline
			F&W&W&F&W&W\\ \hline
			W&F&F&W&F&F\\ \hline
			W&W&F&F&W&W\\ \hline
			\end{tabular}
		\end{center}

		Schreibabkürzungen:

		\begin{quote}
		Für Alle:		$\forall$

		Es existiert:		$\exists$
		
		Es existiert genau ein	$\exists_1$	
		
		\parskip 12pt
		Bsp.:
		\parskip 6pt
			\begin{quote}
			1. Falls $M\subseteq N$, so ist die Aussage $\forall x\in M: x\in N$ wahr.
			
			2. Die Aussage $\forall x \in \{1,2,3\}\exists y\in\{1,2,3\}:y>x$ ist falsch.
			\end{quote}
		\parskip 12pt
		Hinweis:\parskip 6pt
			\begin{quote}
			Manchmal auch "`Nachstellung"' des Gültigkeitsbereiches:
			
			Beispiel: $x^2 \leq \frac{1}{4}	(|x|\leq \frac{1}{2})$
			\end{quote}
		\end{quote}
	\end{quote}
	\end{quote}
\newpage
\section{Relation \& Funktionen}
	\begin{quote}	
	\subsection{Definition}
		\begin{quote}\parpic(5cm,4cm)(3cm,4cm)[r]{\includegraphics[width=4cm, height=3.4cm]{Maphy_Bilder/2_1.PNG}}
			\begin{enumerate}
				\item Für Objekte a,b ist das geordnete Paar (a,b) definiert durch:

				$(a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}$
				\item Für Mengen M, N ist das Produkt definiert durch: 

				$M\times N:=\{(a,b)|a\in M, b\in N\}$
				\item Eine Relation zwischen M und N ist eine Teilmenge $R\subseteq M\times N$.

				Statt "`$(a,b)\in R$"' schreibt man "`aRb"'. Beispiele: $a\leq b$, $a>b$, etc.
				\item Eine Relation zwischen M und N heißt Funktion (Abbildung) von M nach N falls gilt:
					
				$\forall x\in M \exists_1 y\in N:(x,y)\in R$ oder xRy.
				
				Schreibweise: 
					\begin{quote}
					 $f:\abb{M\to N}{x\mapsto f(x)}$,
					
					Beispiel: $f:\abb{\N\to \N}{x\mapsto x^2}$ oder $f(x)=x^2$
					\end{quote}
				
			\end{enumerate}
		\end{quote}
	\subsection{Bemerkung: Funktion}
		\begin{quote}
		Zur Beschreibung einer Funktion sind 3 Dinge nötig:
			\begin{itemize}
				\item[1.]Definitionsbereich
				\item[2.]Wertebereich
				\item[3.]Zuordnungsvorschrift
			\end{itemize}
		z.B. sind die Funktionen 
		
		$f:\{1,2,3\}\to\N$, $g:\{1,2,3,4\}\to\N$ und $h:\{1,2,3\}\to\{2,3,4\}$ 
		
		mit $f(x)=x+1$, $g(x)=x+1$ und $h(x)=x+1$ alle verschieden.
		\end{quote}
	\subsection{Definition: Bild}
		\begin{quote}
		Seien A, B Mengen, $f:A\to B$ Funktion
				
			\begin{itemize}
				\item[1.]Sei $A'\subseteq A$. Das \emph{Bild} von $A'$ unter $f$ ist 

				$f(A')=\{y|\exists x\in A',y=f(x)\}=\{f(x)|x\in A'\}$
				\item[2.]Sei $A'\subseteq A\subseteq A''$ und $B'$ Menge.
				
				Die \emph{Einschränkung} von f auf $A'$ ist die Funktion $f|_{A'}:A'\to B$
				
				Eine Funktion $g:A''\to B'$ heißt \emph{Fortsetzung} von f, falls gilt: 
				
				$\forall x\in A:g(x)=f(x)$
				\item[3.]Für eine beliebige Menge C ist das \emph{Urbild} von C definiert durch 
				
				$f^{-1}(C):=\{x\in A|f(x)\in C\}$
			\end{itemize}
		\end{quote}\newpage
	\subsection{Definition: Komposition}
		\begin{quote}
		\parpic(3cm,2cm)[r]{\includegraphics[width=3cm, height=1.5cm]{Maphy_Bilder/2_4.PNG}}Seien $f:A\to B$, $g:B'\to C$ Funktionen und $B\subseteq B'$.
		Dann ist die \emph{Komposition} (Hintereinanderausführung) $g\circ f$ definiert durch:

		$g \circ f:A\to C$, $(g\circ f)(x)=g(f(x))$
		
		
		\end{quote}
	\subsection{Definition: Bijektiv}
		\begin{quote}\parpic(5cm,4cm)(4cm,7.5cm)[r]{\includegraphics[width=0.2\textwidth]{Maphy_Bilder/2_5.PNG}}

		Eine Funktion $f:A\to B$ heißt:
			\begin{quote}
				\begin{quote}
					\begin{itemize}
						\item[\emph{injektiv}], falls gilt: $\forall x,y\in A:\{f(x)=f(y)\Rightarrow x=y\}$.
						\item[\emph{surjektiv}], falls gilt: $\forall y \in B \exists x \in A:f(x)=y$ (Gleichbedeutend: f(A)=B).
						\item[\emph{bijektiv}], falls f surjektiv und injektiv.
					\end{itemize}
				\end{quote}
			\end{quote}
		Beispiele:
			\begin{quote}
			$f:\abb{\{1,2\}\to\{1,2,3\}}{x \mapsto x+1}$ ist injektiv, nicht surjektv.

			$g:\abb{\{1,2\}\to\{2,3\}}{x \mapsto x+1}$ ist bijektv.
			\end{quote}
		Falls $f:A\to B$ bijektiv, so existiert die \emph{inverse Funktion (Umkehrfunktion)}
		 
		$f^{-1}:B\to A$, die jedem $y \in B$ das eindeutige $x\in A$ mit $f(x)=y$ zuordnet.
		
		Es gilt:
			\begin{quote}
			$f(f^{-1}(y))=y	(y\in B)$
			
			$f^{-1}(f(x))=x	(x\in A)$
			\end{quote}
		\end{quote}
	\subsection{Definition: Relation}
		\begin{quote}
		Sei R Relation in der Menge M (also $R\subseteq M\times M$).
			\begin{quote}
			\begin{itemize}
				\item[a)]
					R heißt \emph{Äquivalenzrelation} (auf M), falls folgende Eigenschaften für alle $x,y,z \in M$ erfüllt sind:
					\begin{quote}
					\begin{itemize}
						\item[1)]$xRx$ (\emph{Reflexivität})
						\item[2)]$xRy\Rightarrow yRx$ (\emph{Symmetrik})
						\item[3)] $xRy \mbox{ und } yRz\Rightarrow xRz$ (\emph{Transitivität})
					\end{itemize}
					\end{quote}
					
					Häufig benutze Symbole: "`="', "`$\approx$"', "`$\sim$"'

					Für $x\in M$ ist die Äquivalenzmasse von x (bzgl. R) definiert als 
					
					$\{y\in R|yRx\}$
				\item[b)]
					R heißt \emph{Ordnung} auf M (M durch R geordnet), falls für alle 
					
					$x,y,z \in M$ folgende Eigenschaften gelten:
					\begin{quote}
					\begin{itemize}
						\item[1)]$xRx$ (Reflexivität)
						\item[2)] $(xRy) \wedge (yRx)\Rightarrow x=y$ (\emph{Antisymmetrik})
						\item[3)] $xRy \mbox{ und } yRz\Rightarrow xRz$ (Transitivität)
					\end{itemize}
					\end{quote}
					
					Häufig benutze Symbole: "`$\leq$"', "`$\prec$"', "`$\subseteq$"'
				\item[c)]
					Eine Ordnung $\prec$ auf M heißt \emph{Totalordnung}, falls gilt: 

					$\forall x,y\in M:((x\prec y)\vee(y\prec x))$
			\end{itemize}
			\end{quote}\newpage
		Beispiele:
			\begin{quote}
			\begin{itemize}
				\item["`="'] bei Zahlen (\emph{Äquivalenzreation}),
				\item["`$\leq$"'] bei Zahlen (\emph{Ordnungsrelation}),
				\item["`$\subset$"'] bei Mengen (\emph{Ordnungsrelation}).
			\end{itemize}
			\end{quote}
		\end{quote}
	\subsection{Bemerkung: Partition}
		\begin{quote}
		Sei $\sim$ eine \emph{Äquivalenzrelation} auf der Menge M.

		Dann bilden die \emph{Äquivalenzklassen} bezüglich $\sim$ eine \emph{Partition}, d.h. Zerlegung von M in paarweise disjunkte Teilmengen.
		
		D.h. $A\cap B=\emptyset$ für verschiedene Äquivalenzklassen $A, B$.
		\end{quote}
	\subsection{Definition/Bemerkung: sup/inf \& min/max}
		\begin{quote}
		Sei $\leq$ eine Ordnung auf der Menge M (M durch $\leq$ geordnet). Sei $A\subseteq M$.
		\begin{quote}
		\begin{itemize}
			\item[1)]
				A heißt nach oben (unten) beschränkt, falls ein $s\in M$ existiert mit $\forall a\in A:a\leq s ~(a \geq s)$.

				s heißt dann \emph{obere (untere) Schranke} für A.
			\item[2)]
				$s\in M$ heißt \emph{Supremum} von A, falls s eine \emph{kleinste obere Schranke} für A ist, d.h.:
				\begin{quote}
				\begin{itemize}
					\item[1)]s ist obere Schranke
					\item[2)]falls S obere Schranke für A, dann $s\leq S$
				\end{itemize}
				\end{quote}
				Analog heißt s \emph{Infimum} von A, falls s eine \emph{größte untere Schranke} für A ist, d.h.:
				\begin{quote}
				\begin{itemize}
					\item[1)]s ist untere Schranke
					\item[2)]falls S untere Schranke für A, dann $s\geq S$
				\end{itemize}
				\end{quote}
				Falls Supremum/Infimum von A existiert, so ist dies eindeutig.
		
				Man schreibt dann $s=sup(A)$ bzw. $s=inf(A)$
			\item[3)]
				$a\in A$ heißt maximales (minimales) Element von A, falls gilt:
			
				$\forall x\in A:x\leq a~(x\geq a)$
		
				Notation: $a=max(A)$; $a=min(A)$
		\end{itemize}
		\end{quote}

		Bemerkung: Im Allgemeinen existiert weder sup/inf, noch min/max.
		\begin{Beweis}
			Beweis der Eindeutigkeit von sup/inf:
				\begin{quote}
				Seien s, $s'$ Suprema von A.
				
				Da $s'\circ s$ für A, gilt nach 2): $s\leq s'$, ebenso $s'\leq s$
			
				Mit Antisymmetrie von "`$\leq$"': $s=s'$
			
				Analog für inf.
				\end{quote}
		\end{Beweis}
		\end{quote}
	\subsection{Zornsches Lemma}
		\begin{quote}
		Sei M eine Menge und $\leq$ Ordnung auf M derart, dass gilt:
		
		jede totalgeordnete Teilmenge $N\subset M$ hat eine obere Schranke in M.
			
		Dann gilt: Die ganze Menge M hat ein maximales Element.
		\end{quote}
	\newpage
	\subsection{Auswahlaxiom}
		\begin{quote}
		Sei I eine beliebige Menge (Indexmenge) und für jedes $i\in I$ sei eine Menge $A_i\neq\emptyset$ gegeben.
		
		Dann existiert eine Funktion $F:\left( I\to\stackrel{\bigcup}{i\in I}\right) A_i$
		mit der Eigenschaft $\forall i\in I:f(i)\in A_i$ (Selektion eines Wertes f(i) aus der Menge $A_i$).
		\parskip 24pt
		
		Man kann zeigen: Zornsches Lemma und Auswahlaxiom sind äquivalent.
		\parskip 6pt
		\end{quote}
	\end{quote}
\section{Reelle Zahlen}
	\begin{quote}
	$\N=\{1,2,3,\cdots\}$ natürliche Zahlen.

	$\mathbb{Z}=\{\cdots,-2,-1,0,1,2,\cdots\}$ ganze Zahlen. $(\mathbb{Z},+,\cdot)$. ist kommutativ und Ring mit Eins.
	
	$\Q=\{\frac{p}{q}|p,q\in|\mathbb{Z},q\neq\}$ rationale Zahlen. $(\Q,+,\cdot)$. ist Körper.
	
	$\N \subset \mathbb{Z} \subset \Q$ (Aus der Schule bekannt. Konstruktion dieser Zahlenmengen: hier nicht!) 
	
	$\N$ erfüllt folgende Grundregeln:
	\subsection{Peano-Axiom}
		\begin{quote}
		$\N$ enthält ein Element 1 und es gibt eine injektive 
		Abbildung $\vartheta:\N\to\N\setminus\{1\}$ (Nachfolgerabbildung), so dass gilt: Falls $A\subseteq \N$ und
			\begin{quote}
			\begin{itemize}
				\item[i)]$1\in A$
				\item[ii)]Falls $n\in A$, so auch $\vartheta (n)\in A$
			\end{itemize}
			\end{quote}
		dann $A=\N$
		
		Peano-Axiome sind die Basis für folgenden Prinzipien:
		\end{quote}
	\subsection{Induktion \& Rekursion}
		\begin{quote}
		\begin{itemize}
			\item[a)]
				Beweisprinzip der vollständigen Induktion:
			
				Für alle $n \in \N$ sei eine Aussage $a(n)$ gegeben. Falls
					\begin{quote}
					\begin{itemize}
						\item[i)]$a(1)$ wahr,
						\item[ii)]Falls $a(n)$ wahr für ein $n\in\N$, so auch $a(\vartheta (n))$,
					\end{itemize}
					\end{quote}
				so ist $a(n)$ für alle $n\in \N$ wahr.
				
				(Schreibe auch "`n+1"' statt $\vartheta (n)$. Es lässt Addition auf $\N$ definieren.)
			\item[b)]
				Rekursionsprinzip:
				
				Sei ein Objekt O(1) aus einer Menge M gegeben und für $n\in \N$ sei eine 
				Vorschrift $V_n$ gegeben $(V_1:M\to M)$, die aus einem Objekt $O\in M$ ein 
				neues Objekt macht.
				
				Dann definiert die Vorschrift $O(n+1)=V_n(O(n))$ für alle $n\in \N$ 
				ein eindeutiges Objekt $O(n)\in M$.
				
				D.h. es existiert genau eine Funktion: 
				
				$\gamma:\N\to\N$ mit $\tilde{O}(n+1)=V_1(\tilde{O}(n)) (\forall n \in \N)$
		\end{itemize}
		\end{quote}
	\subsection{Axiomatische Beschreibung der reellen Zahlen}
		\begin{quote}
		$\R$ ist eine Erweiterung der rationalen Zahlen, also $\Q\subset\R$

		Es gilt:
			\begin{quote}
			\begin{itemize}
				\item[a)]
					($\R$, +, $\cdot$) ist Körper (\emph{Körperaxiom})
				\item[b)]
					$\R$ ist angeordneter Körper, d.h
					\begin{itemize}
						\item[1)]
							Es existiert $P\subset R$, sofass für jedes $r\in R$ genau eine der Aussagen 
							\begin{itemize}
								\item$r\in R$
								\item$r=0$ (\emph{neutrales Element})
								\item$r\in P$ (\emph{additives inverses Element})
							\end{itemize}
							zutrifft. (\emph{Anordnungsaxiome})
						\item[2)]Falls $a,b \in P$, so ist $a+b\in P, a\cdot b\in P$
					\end{itemize}
				\item[c)]
					Bemerkung: Man definiert für $a,b\in\R: a<b\Leftrightarrow b-a\in\R$ 
					
					(Schreibweise auch $b>a$).
				
					$a\leq b \left[a\geq b\right] \Leftrightarrow (a=b)\vee (a<b)\left[a>b\right]$
				
					Dann ist "`$\leq$"' die Totalordnung auf $\R$.
				\item[d)]
					$\R$ ist mit "`$\leq$"' vollständig, d.h.
				
					Falls $M\subset \R, M \neq \emptyset$ und M nach oben beschränkt, so hat M 
					ein Supremum in $\R$ (vgl. 2.4). (\emph{Vollständigkeitsaxiom})							
			\end{itemize}
			\end{quote}
		Bemerkung: Es gilt auch: Falls $M\subset \R, M\neq \emptyset$, M nach unten beschränkt, so hat M ein Infimum in $\R$.
		\end{quote}
	\subsection{Definition}
		\begin{quote}
			\begin{itemize}
				\item[a)]Für $a\in \R$ setze 
				$sgn(a):= \left\{ \begin{array}{l}1, a>0 (a \in P)\\0, a=0\\-1, a<0 (-a\in P) \end{array}\right.$
				\item[b)]\emph{Betragsfunktion}: setze $|a|=a\cdot sgn(a)$
			\end{itemize}
		\end{quote}
	\subsection{Rechenregeln}
		\begin{quote}
			\begin{itemize}
				\item[1)]$|a|=|-a| \geq 0, a=|a|\cdot sgn(a)$
				\item[2)]$|a|=0\Leftrightarrow a=0$
				\item[3)]$|a\cdot b|=|a|\cdot |b|, sgn(a\cdot b)=sgn(a)\cdot sgn(b)$
				\item[4)]$|a^-1|=|a|^-1$, falls $a\neq 0$ (\emph{Multiplikations Inverses})
				\item[5)]$a\leq b \Rightarrow a+c \leq b+c$
				
				$a\leq b \Leftrightarrow -a\geq -b$
				
				$a\leq b \Leftrightarrow ca\leq cb$ Falls $c>0$, sonst $ca\geq cb$
				\item[6)]$|a|-|b|\leq|a\pm b|\leq |a|+|b|$ (\emph{Dreiecksungleichung})
			\end{itemize}
		\emph{Bemerkung}
			\begin{quote}
			$1\in P$. Beweis. 1F (in jedem Körper):$(0\cdot1=0; 1\cdot1=1)$
			
			\emph{Behauptung}: $(-1)\cdot(-1)=1$
			
			\emph{Bemerkung}: $(-1)\cdot(-1)-1=(-1)\cdot(-1+1)=0\leftarrow a\cdot 0=0$ absorbierendes Element 
			\end{quote}
		Wäre $(-1)\in P$ so $(-1)(-1)\in P$, also $1 \in P$ (Widerspruch zu 3.3.b.1)
		
		Mit 3.3.b.1 folgt: $1\in P$
		
		\begin{Beweis}Beweis 3.5.1:
			\begin{quote}
			$|a|=a\cdot sgn(a); |-a|=-a\cdot sgn(a)=-a\cdot-1\cdot sgn(a)=a\cdot sgn(a)$
			
			$|a|> 0$, falls $a \in P (a=0)$, so $|a|=a\cdot sgn(a)=a\cdot 1 = a > 0$
			
			analog $a<0$.
			
			falls $a=0$, so $|a|=0$.
			\end{quote}
			\end{Beweis}
		\begin{Beweis} Beweis zu ii-v: Ähnlich leicht/trivial.\end{Beweis}
		
		\begin{Beweis} Beweis zu vi: siehe Übung.\end{Beweis}
		
		\end{quote}
	\subsection{Satz von Archimedes}
		\begin{quote}
		$\N\subset \R$ ist nicht nach oben beschränkt, d.h. $\forall r \in \R \exists n\in \R: n>r$
		
		\emph{Bemerkung}:
			\begin{quote}
			Annahme, $\N$ sei nicht nach oben beschränkt in $\R$.
			
			Dann existiert (Vollständigkeit) $s:=sup(\N)\in \R$.
			 
			Es ist $s<s+1$ (da $0<1$), also $s-1<s$.
			
			Da s kleinste obere Schranke ist, ist s-1 keine obere Schranke für $\N$.
			
			Also existiert $n\in \N$ mit $n>s-1$.			
			Dann auch $n+1\in \N$ und $n+1>s$.
			
			Widerspruch dass s kleinste obere Schranke für $\N$ ist.
			
			\emph{Daraus folgt}: $\N$ ist nicht nach oben beschränkt.
			\end{quote}
		\end{quote}
	\subsection{Definition: Intervalle}
		\begin{quote}
		Seien $a,b \in \R, a\leq b$
			\begin{quote}
			$(a,b):=\{x\in \R|a<x<b\}$ "`("`, "')"' $\Rightarrow$ ausgeschlossen
			
			$(a,b]:=\{x\in \R|a<x\leq b\}$ "`["`, "']"' $\Rightarrow$ eingeschlossen
			\end{quote}
		Weiter:
			\begin{quote}
			$(a,\infty):=\{x\in \R|x>a\}$
			
			$[a,\infty):=\{x\in \R|x\geq a\}$

			$(-\infty, a), (-\inf, a]$ entsprechend.
			
			$\R^+:=(0,a)$, $\R^+_0:=[0,a)$, entsprechend $\R^-$, $\R^-_0$
			\end{quote}
		\end{quote}
	\subsection{Endlichkeit auf Abzählbarkeit}
		\begin{quote}
			\begin{itemize}
				\item[a)] Eine Menge heißt endlich, falls $M=\emptyset$ (Dann hat M 0 Elemente) oder falls $n\in \N$ und eine bijektive
				Abbildung $\{1,...,n\}\to M$ existiert. 
				
				Dann hat M n Elemente. (In Zeichen: $cord(M)=n$ oder $\#M=n$)
				\item[b)]M heißt unendlich, falls M nicht endlich.
				\item[c)]M heißt abzählbar, falls eine surjektive Abbildung $\varphi:\N\to\N$ existiert.
				\item[d)]M heißt abzählbar unendlich, falls abzählbar und unendlich.
				\item[e)]M heißt überabzählbar, falls M nicht abzählbar.
			\end{itemize}
		Bemerkung:
			\begin{quote}
			n aus a) ist, falls es existiert, eindeutig.
			\end{quote}			
		\end{quote}
	\subsection{Satz: Unterschiede \texorpdfstring{$\R,\Q$}{Reelle und Rationale Zahlen}}
		\begin{quote}
			\begin{itemize}
				\item[a)]$\Q$ ist nicht vollständig, $\R$ schon
				\item[b)]$\Q$ ist abzählbar, $\R$ nicht
			\end{itemize}
		\begin{Beweis}Beweis zu a):
			\begin{quote}
			Sei $M:=\{a\in \Q|a^2<2\}$. M ist nach oben beschränkt (z.B. durch 2).
			
			Sei $s:=sup(\R)$. Annahme $s\in\Q, s^2=2$ :
				\begin{quote}
				Annahme falsch:
				
				1. Fall: $s^2>2$
					\begin{quote}
					Für alle $n\in\N (s-\frac{1}{n})^2=s^2-\frac{2s}{n}+\frac{1}{n^2}>s^2-\frac{2s}{n}$.  
					Nach Archimedes existiert $n\in\N$ mit $b>\frac{2s}{s^2-2}$.
					Für dieses n ist $\frac{2s}{n}<\frac{2s}{\frac{2s}{s^2-2}}=s^2-2$ und $(s-\frac{1}{n})^2>s^2-(s^2-2) = 2$.
					
					Es folgt: $s-\frac{1}{n}$ ist obere Schranke für M. Widerspruch zu s kleinste obere Schranke.
					\end{quote}
				2. Fall: $s^2<2$
					\begin{quote}
					Ähnlich wie oben. $\exists n \in \N (s+\frac{1}{n})^2<2$, also $s+\frac{1}{n}\in\N$.
					
					Widerspruch zu s obere Schranke für M.
					\end{quote}
				\end{quote}
			Da $s\in\Q$ nach Annahme existiert $p, q \in\N, y\neq 0, s=\frac{p}{q}$, also $\frac{p^2}{q^2}=2$,
			
			$p^2=2q^2$ (unmöglich denn Primfaktor 2 steckt links/rechts zu gerader/ungerader Potenz drin).
			
			Also: Annahme falsch, $s\in\Q$
			
			Also: M hat kein Supremum in $\Q$, also $\Q$ nicht vollständig.  
			\end{quote}\end{Beweis}
		\begin{Beweis}Beweis zu b):
			\begin{quote}
			\begin{itemize}
				\item[1)]Ideenskizze:
				\begin{tabular}[t]{ccccccccc}
				$\cdots$&$-\frac{1}{3}$&$-\frac{1}{2}$&$-\frac{1}{1}$&$0$&$\frac{1}{1}$&$\frac{1}{2}$&$\frac{1}{3}$&$\cdots$\\
				$\cdots$&$-\frac{2}{3}$&$-\frac{2}{2}$&$-\frac{2}{1}$&$0$&$\frac{2}{1}$&$\frac{2}{2}$&$\frac{2}{3}$&$\cdots$\\
				$\cdots$&$-\frac{3}{3}$&$-\frac{3}{2}$&$-\frac{3}{1}$&$0$&$\frac{3}{1}$&$\frac{3}{2}$&$\frac{3}{3}$&$\cdots$\\
				&$\vdots$&$\vdots$&$\vdots$&$\vdots$&$\vdots$&$\vdots$&$\vdots$&
				\end{tabular}
				\item[2)]$\R$ überabzählbar: zeige [0,1] ist überabzählbar
				
				Jedes $x\in [0,1]$ hat Dualbruch der Entwicklung x=0,011001100...
				
				Zeige: Die Menge F der Folgen von der Form (0,1110010...) ist überabzählbar. (Cantonsches Diagonalverfahren)
				
				Annahme: Es existiert die Abzählung $\varphi:\N\to F$ surjektiv,
				
				also $F=\{\varphi(1),\varphi(2),\varphi(3),...\}$
				
				
				
				Definiere eine Folge $(a_i)_{i\in\N}\leq F$ durch
				$a_i \left\{ 
				\begin{array}{cc}
					1 &\mbox{, falls }\varphi(i)_i=0\\
					0 &\mbox{, falls }\varphi(i)_i=1
				\end{array}\right.$
				\parpic(5cm,4cm)(4cm,2cm)[r]{\includegraphics{Maphy_Bilder/Canton_Diag.png}}

				$(a_i)_{i\in\N}\neq\varphi(j) \forall j\in\N$, d.h. $(a_j)$ tritt nicht im Bild von F auf.
				
				\emph{Widerspruch} zu $\varphi$ surjektiv!
				
				\emph{Also F nicht abzählbar!}
			\end{itemize}
			\end{quote}
			\end{Beweis}
		\end{quote}
	\subsection{Bemerkung}
		\begin{quote}
		$\R$ ist ein Vektorraum über dem Körper $\R$, auch über $\Q$.
			
		Die Betragsfunktion (vgl. 3.5) definiert eine Norm auf $\R$.
		\end{quote}
	\subsection{Satz: Existenz/Eindeutigkeit m-ter Wurzeln \texorpdfstring{in $\R$}{im Raum der Reellen Zahlen}}
		\begin{quote}
		$\forall a\in\R^+_0\forall m\in\N \exists_1 x\in \R^+_0: x^m=a$
			
		(Notation: $x=\sqrt[m]{a^n}$, auch $x=a^{\frac{n}{m}}$, "`m-te Wurzel"')
			
		\begin{Beweis}Beweis:
			\begin{quote} 
			Sei $a\in \R^+_0, m\in\N$ und $M:=\{y\in\R^+_0 |y^m\leq a\}$. 
			
			Behauptung: M ist nach oben beschränkt durch 1+a.
				
			\begin{Beweis}Beweis:
				\begin{quote} Falls $a\leq 1$, sonst für $y\in\R$, $y>1+a$:
				
				(triviale Induktion) $y^m\geq(1+a)^m\geq1^m$ = $1\geq a$.
				
				Falls $a>1$, so ist für $y\in\R>1+a:y^m>(1+a)^m>a^m\geq a$.
				
				Sei $x:=sup(M)$. Dann $x>0$, also $x\in\R^+_0$.
				
				Falls $x^m<a$, so existiert $n \in N$ mit $(x+\frac{1}{n})^m<a$,
				
				also $x+\frac{1}{n}\in M$. Widerspruch zu x ist obere Schranke.
				
				Falls $x^m>a$, so existiert $n \in N$ mit $(x-\frac{1}{n})^m>a$.
				
				Widerspruch zu x ist kleinste obere Schranke.
				\end{quote}
				\end{Beweis}
			Also $x^m=a$.
			\end{quote}
			\end{Beweis}
		\emph{Eindeutigkeit:} Falls $\tilde{x}<x$, so $\tilde{x}^m<x^m=a$. Widerspruch, somit $\tilde{x}=x$
		\end{quote}
	\subsection{Satz: Definition}
		\begin{quote}
			\begin{itemize}
				\item[a)]$\Q$ ist dicht in $\R$, d.h. 
		
					$\forall a\in \R~\forall \varepsilon>0~\exists q\in \Q:~|q-a|<\varepsilon$ 
				\item[b)]Zahlen in $\R\setminus\Q$ heißen irrationale Zahlen, diese sind auch dicht in $\R$.
			\end{itemize}
			\begin{Beweis}Beweis zu 3.12:
				\begin{quote}
				Zu a)
				
				Sei $a\in\R$. Falls $a\in \Q$, so gilt: $\forall \varepsilon>0:|a-a|=0<\varepsilon$
				
				Sei jetzt $a\in\R\setminus\Q$ und $a>0$.
				
				Zu $n\in \N$ sei nun $m(n):=max\{k\in\N_0|\frac{k}{n}\leq a\}$. (wohldefiniert)
				
				Dann $\frac{m(n)}{n}\leq a<\frac{m(n)+1}{n}$, also $|a-\frac{m(n)}{n}|<\frac{1}{n}$ .
				
				Sei jetzt $\varepsilon >0$. Nach Archimedes existiert $n\in\N, n>\frac{1}{\varepsilon}$, also $\frac{1}{n}<\varepsilon$ .
				
				Setze $q:=\frac{m(n)}{n}\in\Q$.
				
				Dann $|a-q|<\frac{1}{n}<\varepsilon$.
				\end{quote}\end{Beweis}
		\end{quote}
	\end{quote}
\section{Komplexe Zahlen}
	\begin{quote}
	In $\Q: x^2=2$ hat keine Lösung, aber in $\R$.
	
	In $\R: x^2+1=0$ hat keine Lösung.
	
	Historisch: Cardano (16. Jahrh.) in gewissem Sinn "`Geistergrößen"'.
	
	Unmystische Erklärung: Gauß, Hamilton (18., 19. Jahrh.).
	\subsection{Körper der komplexen Zahlen}
		\begin{quote}
		\begin{itemize}
			\item[a)]
				Sei $\C:=\R^2=\{(a,b)|a,b\in\R\}$.
				
				Außer der komponentenweisen Addition/Subtraktion 
				
				$((a,b)\pm(c,d))=(a\pm c,b\pm d)$
				
				definiert man die Multiplikation komplexer Zahlen durch 
				
				$(\ast)~~~(a,b)\cdot(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$
				
				Damit wird $(\C,+,\cdot)$ ein Körper.
			\item[b)]
				Indem wir $r\in\R$ mit $(r,0)\in\C$ identifizieren, können wir $\R$ als Unterkörper von $\C$ auffassen, also $\R\subset\C$.
			\item[c)]
				Mit $i:=(0,1)$ ist $i^2=(0,1)\cdot(0,1)=(-1,0)$ (entspricht -1 in $\R$).
				
				Für $(a,b)\in\C$ ist $(a,b)=a\cdot(1,0)+b\cdot(0,1)=a+bi$.
				
				Mit dieser Schreibweise ergibt sich $(\ast)$ durch formales Ausmultiplizieren unter Berücksichtigung von $i^2=-1$:
				
				$(a+bi)\cdot(c+di)=ac+bdi^2+(bc+ad)i=(ac-bd)+(bc+ad)i$
			\item[d)]
				$a$ heißt \emph{Realteil}, $b$ \emph{Imaginärteil} der komplexen Zahl $a+bi$. In Zeichen:
				
				$a=\Re(a+bi); b=\Im(a+bi)$
		\end{itemize}
		\begin{Beweis}Beweis: leicht\end{Beweis}
		\end{quote}
	\subsection{Definition/Bemerkung}
		\begin{quote}\parpic(5cm,4cm)(4cm,4.5cm)[r]{\includegraphics[width=0.15\textwidth]{Maphy_Bilder/4_2.PNG}}
		\begin{itemize}
			\item[a)]
				Für $z=a+bi~\in\C$ sei $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ (setzt reel. Betr.)
				
				Es gilt: $|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot|z_2|;~ ||z_1|-|z_2||\leq|z_1+z_2|\leq|z_1|+|z_2|$ für alle $z_1,z_2 \in \C$
			\item[b)]
				Für $z=a+bi$ ist die konjugierte komplexe Zahl $\overline{z}$ definiert durch $\overline{z}=a-bi$.
				
				Die \emph{Konjugation} $z\mapsto \overline{z}$ ist vertauschbar mit Grundrechenarten, also:
				
				$\overline{z_1\pmd z_2}=\overline{z_1}\pmd\overline{z_2};~\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{z_1}{z_2}$ falls $z_2\neq 0$.
				
				Weiter: $|\overline{z}|=|z|$
		\end{itemize}
		\end{quote}
	\subsection{Geometrische Veranschaulichung der komplexen Multiplikation}
		\begin{quote}
		\parpic(5cm,4cm)(3.5cm,2.5cm)[r]{\includegraphics[width=0.2\textwidth]{Maphy_Bilder/4_3.PNG}}Die Multiplikation $\mu_z:\abb{\C\to\C}{w\mapsto z\cdot w}$ mit einer festen komplexen Zahl w ist geometrisch nämlich:
			\begin{itemize}
				\item[-]Drehung um den zu $z$ gehörigen Winkel.
				\item[-]Streckung mit Faktor $|z|$.
			\end{itemize}
		\begin{Beweis}Beweis: Später; Hier z.B. kein präziser Winkelbegriff vorhanden\end{Beweis}
		\end{quote}
	\end{quote}
\section{Induktive Beweise}
	\begin{quote}
	\subsection{Rekursive Definitionen (einige)}
		\begin{quote}
		\begin{itemize}
			\item[a)]
				\emph{Fakultäten}: 
				
				0!=1, $(n+1)!=(n+1)\cdot n!$ (Präz. von $n!:=1\cdot2\cdot...\cdot n$)
				
				\emph{Binomialkoeffizient}: 
				
				$\ub{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \left(=\frac{n(n-1)\cdot...\cdot(n-k+1)}{k!}\right)$ ($k,n\in\N_0,~k\in\{0,...,n\}$)
			\item[b)]
				\emph{Summen/Produktzeichen}:
				
				Für $j\in\N_0$ sei eine Zahl $a_j\in\C$ gegeben.
				
				Def. $\su{j=0}{n} a_j$ und $\prod\limits_{j=0}^n a_j$ rekursiv durch 
				
				$\su{j=0}{0} a_j=a_0, \su{j=0}{n+1} a_j = \left(\su{j=0}{n} a_j\right)+a_{n+1}$
				
				$\prod\limits_{j=0}^0 a_j=a_0, \prod\limits_{j=0}^{n+1} a_j = \left(\prod\limits_{j=0}^n a_j\right)\cdot a_{n+1}$
			\item[c)]
				\emph{Ganzzahlige Potenzen}:
				
				Für $a\in\C:~a^0:=1,~a^{n+1}=a\cdot a^n,~ a^{-n}:=(a^n)^{-1}$ falls $a\neq 0, ~n\in\N_0$
		\end{itemize}
		\end{quote}
	\subsection{Binomialsatz}
		\begin{quote}
		Für $a,b\in \C, n\in\N_0$ ist $(a+b)^n=\su{k=0}{n} \ub{n}{k} a^kb^{n-k}$
		
		\begin{Beweis}Beweis n=0:
			\begin{quote}
			 $(a+b)^0=1$ (links); $\su{k=0}{0} \ub{0}{k}a^0b^0=1$ (rechts)
			\end{quote}\end{Beweis}
		
		\begin{Beweis}Beweis $n\to n+1$: 
			\begin{quote}
			$(a+b)^{n+1}=(a+b)\cdot(a+b)^n=(a+b)\cdot\su{k=0}{n}\ub{n}{k}a^kb^{n-k}$
			
			$=\su{k=0}{n}\ub{n}{k}a^{k+1}b^{n-k}+\su{k=0}{n}\ub{n}{k}a^kb^{n+1-k}$
			
			$=\su{k=1}{n+1}\ub{n}{k-1}a^kb^{n+1-k}+\su{k=0}{n}\ub{n}{k}a^kb^{n+1-k}$
			
			$=a^{n+1}b^0+\su{k=1}{n}\underbrace{\left(\ub{n}{k-1}+\ub{n}{k}\right)}_{\ub{n+1}{k}}a^kb^{n+1-k}+a^0b^{n+1}$
			
			$=\su{k=1}{n+1}\ub{n+1}{k}a^kb^{n+1-k}$
			\end{quote}\end{Beweis}
		\end{quote}

	\subsection{Geometrische Summenformel}
		\begin{quote}
		Für $n\in\N_0,~a,b\in \C$ gilt:
			\begin{quote}
			$b^{n+1}-a^{n+1}=(b-a)\cdot\su{n=0}{n}a^kb^{n-k}$
				
			Beispiel: $b^2-a^2=(b-a)\cdot(b+a)$
			\end{quote}
		Spezialfall: $b:=1,~a:=q$
			\begin{quote}
			$1-q^{n+1}=(1-q)\cdot\su{k=0}{n}q^k$,
			
			im Fall $q\neq 1:~\su{k=0}{n}q^k = 1+q+q^2+...+q^n=\frac{1+q^{n+1}}{1-q}$
			\end{quote}
		\begin{Beweis}Beweis: (n=0: trivial)
			$n\to n+1:$
			\begin{quote}
			$b^{n+2}-a^{n+2}=b\cdot b^{n+1}-a\cdot a^{n+1}$
			$=bb^{n+1}-ba^{n+1}+ba^{n+1}-aa^{n+1}$
			
			$=b(b^{n+1}-a^{n+1})-(b-a)a^{n+1}$
			$=b(b-a)\cdot\su{k=0}{n} a^kb^{n-k}+(b-a)\cdot 0^{n+1}$
			
			$=(b-a)\left(\su{k=0}{n} a^kb^{n+1-k}+a^{n+1}\right)$
			$=\su{k=0}{n+1}a^kb^{n+1-k}$
			\end{quote}\end{Beweis}
		\end{quote}
	\end{quote}
\section{Folgen \& Konvergenz}
	\begin{quote}
	\subsection{Definition}
		\begin{quote}
		Sei $M\neq\emptyset$ eine Menge. Eine Folge in M ist eine Abbildung $\N\to M$ (auch $\N_0\to M$).
		
		Schreibweise: $(a_n)_{n\in\N},(a_n)_{n\in\N_0}$, kurz auch $(a_n)$ (statt $n\mapsto a(n)$).
		
		$a_n~(\in M)$ ist das n-te Glied der Folge.
		
		Üblicher Missbrauch: "`$(a_n)\subset M$"', korrekt $\{a_n|n\in\N\}\subset M$ .
		\end{quote}
	\subsection{Definition: Konvergenz/Grenzwert von Folgen}
		\begin{quote}\parpic(5cm,4cm)(2cm,2cm)[r]{\includegraphics[width=0.2\textwidth]{Maphy_Bilder/6_2_1.PNG}}
		\begin{itemize}
			\item[a)]
				$(a_n)\subset \C$ heißt \emph{konvergent} gegen den \emph{Grenzwert} $a\in\C$ 
				
				(in Zeichen: $\abb{a_n\to a_z}{n\to\infty}\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a$), falls gilt:
				
				$\forall \varepsilon>0~\exists N\in\N~\forall n\geq N:~|a_n-a|<\varepsilon$
				
			\item[b)]
				$(a_n)$ heißt konvergent, falls ein $a\in\C$ existiert mit $a_n\to a$, sonst \emph{divergent}.			
				
				Sprechweise: "`$\abb{a_n\to\infty}{n\to \infty}$"' bedeutet:
				 $\forall R\in\R~\exists N\in\N:~\forall n\geq N:~a_n\geq R$ .
		\end{itemize}
		\newpage Genereller Nutzen:\parpic(4cm,4cm)(0.5cm,2cm)[r]{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Maphy_Bilder/6_2_2.PNG}}
		
		Vereinfachung komplizierter Ausdrücke, indem man sie für "`große"' n durch den \emph{Limes} für $n\to \infty$ ersetzt.
			\begin{quote}$a_n=\frac{n^3-2n+5}{4n^3+3n^2+13}\abb{\to}{n\to\infty} \frac{1}{4}$	\end{quote}
		\end{quote}
	\subsection{Bemerkung}
		\begin{quote}
		Der Grenzwert a in 6.2 ist, falls er existiert, eindeutig bestimmt.
		
		\begin{Beweis}Beweis:
			\begin{quote}
			Seien $a,b\in\C,~(a_n)\subset \C$ Folge, $a_n\to a,~a_n\to b$. zu $\varepsilon>0$
			existiert $N_1\in\N$ mit $\forall n\geq N_1:~|a_n-a|<\varepsilon$. 
			Weiter existiert $N_2\in\N$ mit $\forall n\geq N_2:~|a_n-b|<\varepsilon$. 
			Somit $\forall n>max\{N_1,N_2\}:~|a_n-a|<\varepsilon$ und $|a_n-b|<\varepsilon$.
			
			Für solche n folgt: $|a-b|=|a-a_n+a_n-b|\leq|a-a_n|+|a_n-b|<2\varepsilon$. Dies ist für alle $\varepsilon>0$ so, also: $|a-b|=0$.
			\end{quote}\end{Beweis}
		\end{quote}
	\subsection{Rechenregeln}
		\begin{quote}
		\begin{itemize}
			\item[1.]
				Falls $a_n\to a,~b_n\to b$, so $a_n\pmd b,~|a_n|\to|a|$
				
				Falls $b\neq 0$, so existiter $n_0\in\N$ mit $\forall n\geq n_0:b_n\neq0$, und dann $\frac{a_n}{b_n}\to\frac{a}{b}$
				
				(Grenzwertbildung vertauschbar mit Grundrechenarten und mit Betrag.)
				
				\begin{Beweis}Beweis: ($\pm$ trivial) Exemplarisch "`$\cdot$"':
					\begin{quote}
					Es gilt $a_n\to a, b_n\to b$. $(b_n)$ ist beschränkt, dann zu $\varepsilon:=1$ 
					existiert $N\in\N$ mit $\forall n>N:~|b_n-b|\leq \varepsilon$. Somit $\forall n\geq N:~|b_n|=|b_n-b+b|\leq|b_n-b|+|b|<|b|+1$.
					
					Also $\forall n\in\N:~|b_n|\leq max\left\{\abb{max(b_j)}{j=1,N}, |b|+1\right\}=:B$
					
					Ebenso: $\exists A>0:~\forall n\in\N:~|a_n|\leq A$
					\end{quote}\end{Beweis}
				Sei $\varepsilon >0$. Es existiert $N_1\in\N$ mit $\forall n\geq N_1:~|a_n-a|<\frac{\varepsilon}{2B}$
				
			  Analog: Es existiert $N_2\in\N$ mit $\forall n\geq N_2:~|b_n-b|<\frac{\varepsilon}{2A}$
				
				Für $n\geq max\{N_1,N_2\}$ ist 
				
				$|a_nb_n-ab|
				=|(a_n-a)b_n+ab_n-ab|				
				=|(a_n-a)b_n+a(b_n-b)|$
				
				$\leq |b_n|\cdot|a_n-a|+|a|\cdot|b_n-b|
				<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}
				=\varepsilon$
				
				Also: $a_nb_n\to ab$
			\item[2.]$a_n\to a \Rightarrow$ [Für $n\in\N_0$ gilt: $a_{n+n_0}\to a$]
			\item[3.]
				Falls $\forall n\in \N:~a_n\leq b_n$ und $a_n\to a,~b_n\to b$, so auch $a\leq b$.
				
				Speziell, falls $\forall n\in\N:a_1\leq c\in\R$, so auch $a\leq c$. $\Rightarrow$ Für $(a_n),(b_n\in\R)$
			\item[4.]Falls $\forall n\in\N: a_n\in\C,~b_n\in\R: |a_n|\leq b_n$ und $b_n\to 0$, so $a_n\to 0$.
			\item[5.]$(a_n)$ konv. $\Rightarrow (a_n)$ beschränkt, d.h.: $\exists c>0:~\forall n\in\N:~|a_n|\leq c$
		\end{itemize}
		\end{quote}
	\subsection{Beispiele}
		\begin{quote}
		\begin{itemize}
			\item[1)]
				$a_n:\frac{1}{n},~a_n\to0~(n\to\infty)$.
				
				\begin{Beweis}Beweis:
					\begin{quote}Sei $\varepsilon>0$. Nach Archimedes existiert $N\in\N$ mit $N>\frac{1}{\varepsilon}$. 
				Für $n\geq N$ folgt: $|a_n-0|=\frac{1}{n}\leq\frac{1}{N}<\varepsilon$\end{quote}\end{Beweis}
			\item[2)]
				$a_n:=(-1)^n,~n\in\N_0$. $a_0=1,~a_1=-1,~a_2=1,~a_3=-1...$ ($a_n$ ist divergent)
		\end{itemize}
		\end{quote}
	\subsection{Beispiele für Grenzwertberechnung}
		\begin{quote}
		\begin{itemize}
			\item[a)]
				$a_n:=\frac{n^2+3}{2n^3+n}~(n\in\N),~|a_n|=\frac{n^2}{2n^3+n}+\frac{3}{2n^3+n}\leq\frac{n^2}{2n^3}+\frac{3}{n}
				=\underbrace{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n}}_{\to 0}+\underbrace{\frac{3}{n}}_{\to 0}\to 0$
			\item[b)]
				$a_n:=\frac{4n^3-7n^2+1}{3n^3+n+2}=\frac{n^3(4-\frac{7}{n}+\frac{1}{n^2})}{n^3(3+
				\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^3})}\abb{\longrightarrow}{\frac{1}{n}\to 0}\frac{4}{3}$
		\end{itemize}
		\end{quote}
	\subsection{Teilfolgen \& Häufungspunkte}
		\begin{quote}
		\begin{itemize}
			\item[1)]
				Eine Folge $(b_n)$ heißt \emph{Teilfolge} der Folge $(a_n)$, falls gilt:
					\begin{quote}
					Es gibt ein $\varphi:\N\to\N$ streng monoton wachsend. 
					
					($\varphi(j+1)>\varphi(j)\forall j\in\N$), 
					so dass 
					
					$\forall n\in\N:~b_n=a_{\varphi(n)}$ .
					\end{quote}
				\emph{Missbräuchliche Notation} "`$(b_n)\subset(a_n)$"' für $(b_n)$ ist Teilfolge von $(a_n)$.
				
				\emph{Bemerkung}: Für $\varphi:\N\to\N$ str. wachsend ist $\forall n\in\N:~\varphi(n)\geq n$ .
			\item[2)]
				$x\in\C$ heißt \emph{Häufungspunkt} der Folge $(a_n)\subset\C$, wenn gilt:
					\begin{quote}
					Es existiert eine Teilfolge $(b_n)\subset(a_n)$ mit $(b_n)\to x$.
					\end{quote}
		\end{itemize}\hpic[r]{\includegraphics[width=0.4\textwidth]{Maphy_Bilder/6_7.PNG}}
		\end{quote}
	\subsection{Bemerkung}
		\begin{quote}
		$a_n\to x \Leftrightarrow$ jede Teilf. $(b_n)\subset(a_n)$ erfüllt $b_n\to x$
		
		\begin{Beweis}Beweis: leicht\end{Beweis}
		
		Beispiel:
			\begin{quote}
			$a_n:=(-1)^n$ nicht konvergent; $(a_{2n})\to 1$; $(a_{2n+1})\to -1$
			
			$a_n$ hat die Häufungspunkte: +1, -1 .
			\end{quote}
		\end{quote}\newpage
	\subsection{Satz \& Definition}
		\begin{quote}
		\parpic(4cm,3cm)(1cm,3cm)[r]{\includegraphics[width=0.2\textwidth]{Maphy_Bilder/6_9.PNG}}Sei $(a_n)\subset\R$ beschränkt (d.h. es ex. $c>0$ mit $\forall n\in\N:~|a_m|<c$).
		
		Dann gibt es einen größten und einen kleinsten Hp von $(a_n)$, die mit limes superior ($\limsup$) bzw. limes inferior ($\liminf$) bezeichnet werden.
		
		kurz: $\limsup~ a_n$, $\liminf~ a_n$
		
		\begin{Beweis}Beweis:
			\begin{quote}
			Sei $(a_n)\subset\R$ beschränkt. Dann ex. $c\in\R$ mit $\{n\in\N|a_n>c\}$ endlich.
			
			Sei $s:=inf\{c\in\R|\{n\in\N|a_n>c\}\}~ \mbox{endlich}\}$. Dann $M\supset(s;\infty)$ !
			
			\emph{Behauptung}: s ist Hp von $(a_n)$.
			
			\begin{Beweis}Beweis:
				\begin{quote}
				Sei $\varepsilon >0$ und $N\in\N$. Dann $s-\varepsilon\notin M$, also existieren unendlich viele Folgeglieder $n\in\N$ mit
				$a_n>s$, also existiert $n\in\N, n>N$ mit $a_n>s-\varepsilon$ .
				
				Damit konstruiere Teilfolge 
				
				$(a_{\varphi(j)})\subset(a_n)$ mit $\forall j\in \N:~(a_{\varphi(j)})>s-\frac{1}{j}$ .
				 
				Falls $(a\varphi(j))\Arrownot\to s$, so ex. $\varepsilon_0>0$ und eine Teilf. $(a_{\psi(j)})$ von $((a_{\varphi(j)}))$, 
				so dass $\forall j\in\N:~a_{\psi(j)}\geq s+\varepsilon_0$. \emph{Widerspruch} zu $s+\varepsilon_0 \in M$, da 
				alle $((a_{\psi(j)}))(j\in\N)$ $(a_{\psi(j)})>s+\varepsilon_0$ erfüllen.
				
				\emph{Also} $(a_{\varphi(j)})\to s$
				\end{quote}\end{Beweis}
			\emph{	2. Behauptung}: s ist größter Hp von $(a_{n})$	
			
			\begin{Beweis}Beweis:
				\begin{quote}
				Sei x Hp von $(a_n)$. Z.z. ist: $x\leq s$.
				
				Es existiert Teilf. $(a_{\varphi(j)})\subset(a_n)$ mit $(a_{\varphi(j)})\to x$.
				
				Falls $x>s$, so existiert zu $\varepsilon:=\frac{x-s}{2}>0$ ein $n_\varepsilon\in\N$, so dass
				
				$\forall n\geq n_\varepsilon:~|a_{\varphi(j)}-x|<\varepsilon$. Für solche $n\geq n_\varepsilon$ folgt, dass 
				
				$(a_{\varphi(n)})=\underbrace{(a_{\varphi(n)})-x}_{>a-\varepsilon}+x>x-\varepsilon = \frac{x+s}{2}>s$
				\emph{Widerspruch} zu $s+\varepsilon_0\in M$, da alle $(a_{\psi()})()$
				
				\emph{Also} $x\leq s$
				\end{quote}\end{Beweis}
			Beweis $lim~inf~$ analog.
			\end{quote}\end{Beweis}
		\end{quote}
	\subsection{Satz: Bolzano Weierstraß}
		\begin{quote}
		Sei $(a_n)\subset\R$ beschränkte Folge. Dann hat $(a_n)$ einen Häufungspunkt, also eine konvergente Teilfolge.
		
		\begin{Beweis}Beweis: Nach 6.9 ist z.B. $\limsup~ a_n$ Hp.\end{Beweis}
		
		Bemerkung: Gilt auch für $\R^n,~n\geq 2$, insbesondere für $\C=\R^2$
		\end{quote}
	\subsection{Satz}
		\begin{quote}
		Sei z.B. $(a_n)$ monoton wachsend, also $a_n\leq a_{n+1}~(n\in\N)$. 
		Setze $a:=\limsup~a_n$. Es ex. Teilf. $(a_{\varphi(n)})\subset(a_n)$ mit $a_{\varphi(n)}\to a$.
		
		Sei $\varepsilon>0$. Es ex. $n_\varepsilon\in\N$ mit $\forall n\geq n_\varepsilon:~|a_{\varphi(n)}-a|<\varepsilon$.
		
		wegen $a_n$ wachsend gilt: $0\geq a-a_{\varphi(n)}>-\varepsilon$.
		
		Für $n\geq \varphi(n_\varepsilon)$ ist $\varphi(n)\geq n\geq\varphi(n_\varepsilon)\geq n_\varepsilon$ und
		$a_{\varphi(n)}\geq a_n\geq a_{\varphi(n_\varepsilon)}$ (da $(a_j)$ wachsend).
		
		Also $0\geq a_{\varphi(n)}-n\geq a_n -a\geq a_{\varphi(n_\varepsilon)} \geq -\varepsilon$, insbes. $|a_n-a|<\varepsilon$.
		
		Also $a_n\to a$
		\end{quote}
	\subsection{Definition/Satz: Cauchysches Konvergenzkriterium}
		\begin{quote}
		\begin{itemize}
			\item[a)]
				Eine Folge $(a_n)\subset\C$ heißt Cauchy-Folge, falls	gilt: 
				
				$\forall\varepsilon>0~\exists N\in\N~\forall m,n\in\N:~|a_n-a|<\varepsilon$
			\item[b)]
				Es gilt: $(a_n)$ ist konf. $\Leftrightarrow (a_n)$ ist Cauchy-Folge
			\item[c)]
				Die Eigenschaft, dass jede Cauchy-Folge konvergiert, nennt man auch Vollständigkeit
		\end{itemize}
		\begin{Beweis}Beweis:
			\begin{itemize}
				\item[b)]
					"'$\Rightarrow$"': Sei $(a_n)\subset\C$ konv. mit $limes~a\in\C$.
					
					Sei $\varepsilon>0$. Es ex. $N\in\N$ mit $\forall n\geq N:~|a_n-a|<\frac{\varepsilon}{2}$. Für $m,n\geq N$ gilt:
					
					$|a_m-a_n|=|a_m-a+a-a_n|\leq\underbrace{|a_m-a|}_{<\frac{\varepsilon}{2}}+
					\underbrace{|a-a_n|}_{<\frac{\varepsilon}{2}}<\varepsilon$
					
					"`$\Leftarrow$"': $(a_n)$ beschränkt.: Zu $\varepsilon:=1$ ex. $N\in\N$ mit
					
					 $\forall m,n\geq N:~|a_m-a_n|<1$, speziell $\forall n>N:~|a_n-a_N|<1$.
					 Es folgt mit $c:=max\{|a_N|+1,max\{|a_1|,...,|a_N|\}\}:~\forall n\in\N:~|a_n|\leq c$.
					 
					 Nach Bolzano-Weierstraß ex. $a\in\C$ und Teilfolge 
					 
					 $(a_{\varphi(n)})\subset(a_n)$ mit $(a_{\varphi(n)})\to a$.
			\end{itemize}\end{Beweis}
		\end{quote}
	\end{quote}
\section{Reihen}
	\begin{quote}
	\subsection{Definition}
		\begin{quote}
		Sei $(a_n)_{n\geq 0}\subset\C$ Folge.
		\begin{itemize}
			\item[a)] 
				Die zugehörige Reihe $\sum a_n$ (auch $\sum\limits_{n\geq 0}a_n$, $\sum\limits_{n=0}^\infty a_n$ etc.) 
				ist die Folge der Partialsummen $(s_n)_{n\geq 0}$, $s_n:=\sum\limits_{j=0}^n a_j$
			\item[b)]
				Die Reihe $\sum a_n$ heißt konvergent/divergent $\Leftrightarrow$ $(s_n)$ konv./div. 
				(Konvergenz der Reihe hängt nicht vom Anfangsindex ab, der Wert (im Konvergenz-Fall) schon!)
				
				Grenzwert von $(s_n)$ wird, falls ex., mit $\sum\limits_{n=n_0}^\infty a_n$ bezeichnet.
			\item[c)]
				$\sum a_n$ heißt absolut konvergent $\Leftrightarrow~\sum|a_n|$ konv. (gleichbedeutend: $\sum\limits_{j=0}^n|a_j|_{n\geq 0}$ beschr.)
		\end{itemize}
		\end{quote}
	\subsection{Bemerkung}
		\begin{quote}
		$\sum a_n$ absolut konv. $\abb{\Rightarrow}{\cancel{\Leftarrow}}$ $\sum a_n$ konv.
		$\abb{\Rightarrow}{\cancel{\Leftarrow}}$  $a_n\to 0$
		
		Gegenbeispiele:
			\begin{quote}
			"`$\cancel{\Leftarrow_1}$"': $\sum\limits_{n}(-1)^{n+1}\cdot \frac{1}{n}$. alternierende harmon. Reihe, konv. aber nicht abs. konv.
			
			"`$\cancel{\Leftarrow_2}$"': $\sum\limits_{n\geq 1} \frac{1}{n}$. harmonische Reihe, divergent.
			\end{quote}
		\begin{Beweis}Beweis:
			\begin{quote}
			zu "`$\Rightarrow_1$"':
				\begin{quote}
				Sei $|a_n|$ konv. und $s_n:=\sum\limits_{j=n_0}^na_j,~\sigma_n:=\sum\limits_{j=n_0}^n|a_j|~(n\geq n_0)$.
				
				Zeige: $(s_n)$ Cauchy-Folge (also konv.). Es ist $(\sigma_n)$ konv. also Cauchy-Folge.
				Sei $\varepsilon>0$, ex. $n_\varepsilon \in \N$ mit $\forall m,n\geq m_\varepsilon:~|\sigma_m-\sigma_n|<\varepsilon$.
				Für solche m, n und $m>n$ ist $|s_m-s_n|=\bigg|\sum\limits_{j=n+1}^ma_j\bigg|\geq\sum\limits_{j=n+1}^m|a_j|
				=\sigma_m-\sigma_n=|\sigma_m-\sigma_n|<\varepsilon$.
				\end{quote}
			zu "`$\Rightarrow_2$"':
				\begin{quote}
				Sei $\sum a_n$ konv., dann ist $(s_n)$ Cauchy-Folge, also ex. zu $\varepsilon>0$
				ein $n_\varepsilon\in\N$ mit $\forall m,n\geq n_\varepsilon:~|s_m-s_n|<\varepsilon$.
				Für $n\geq n_\varepsilon+1$ ist $|a_n|=|s_n-s_{n-1}|<\varepsilon$.
				\end{quote}
			\end{quote}\end{Beweis}
		\end{quote}
	\subsection{Satz: Geometrische Reihe}
		\begin{quote}
		Für $q\in \C$ ist $\sum_n q^n$ konv. $\Leftrightarrow$ $|q|<1$.
		
		Falls $|q|<1$, so $\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}$.
		
		\begin{Beweis}Beweis:
			\begin{quote}
			"`$\Rightarrow$"': $\sum a^n$ konv. $\abb{\Rightarrow}{7.2 2)}$ $q^n\to 0~\Rightarrow |q|<1$.
			
			"`$\Leftarrow$"': Sei $|q|<1$, dann ist für 
			$n\geq 0~~\sum\limits_{j=0}^n a^j=\frac{n-q^{n+1}}{1-q}~\abb{\longrightarrow}{\abb{n\to \infty}{q^n\to 0}}\frac{1}{1-q}$ 
			\end{quote}\end{Beweis}
		\end{quote}
	\subsection{Satz: Mayorantenkriterium}
		\begin{quote}
		Sei $|a_n|\leq b_n~(n\geq n_0)$, wobei $(a_n)\subset \C,~b_n\subset[0,\infty)$ und $\sum b_n$ sei konv.
		
		Dann auch $\sum (a_n)$ konv. (Also auch $\sum a_n$ konv. nach 7.2 1)).
		
		\begin{Beweis}Beweis:
			\begin{quote}
			Sei $s_n:=\sum\limits_{j=n_0}^n|a_j|$, für $m,n\geq n_0,~ m>n$ ist 
			$|s_m-s_n|=\sum\limits_{j=n+1}^m(a_j)\leq\sum\limits_{j=n+1}^m b_j$.
			
			Zu $\varepsilon>0$ ex., da $\sum b_j$ konv., ein $n_\varepsilon \in \N$ mit $\forall m,n\geq
			n_\varepsilon,~m>n:~\sum\limits_{j=n+1}^mb_j<\varepsilon$.
			
			Für solche $m,n:~|s_m-s_n|<\varepsilon$.
			
			Also $(s_n)$ Cauchy-Folge, also konv.
			\end{quote}\end{Beweis}
		\end{quote}
	\subsection{Satz: Quotientenkriterium}
		\begin{quote}
		Sei $(a_n)_{n\geq n_0}\subset \C$ und es gebe $q\in[0,1)$ mit $\forall n\geq n_0:~|a_{n+1}|\leq q|a_n|$ 
		(Reicht nicht $(a_{n+1})<|a_n|\forall n\geq n_0$)
		
		Dann $\sum|a_n|$ konv.
		
		\begin{Beweis}Beweis:
			\begin{quote}
			Induktion: $\forall n\geq n_0:~|a_n|\leq q^{n-n_0}\cdot |a_{n_0}|$.
			
			Es ist $\sum_n q^{n-n_0}|a_{n_0}|$ konv. $(=|a_{n_0}|\cdot q^{-n_0}\cdot q^n)$ 
			(geometrische Reihe), nach Mayorantenkriterium $\sum|a_n|$ konv.
			\end{quote}\end{Beweis}
		\end{quote}
	\subsection{Satz: Wurzelkriterium}
		\begin{quote}
		Sei $(a_n)\subset \C,~\sqrt[n]{|a_n|}$ sei beschränkt und $\limsup \sqrt[n]{|a_n|}<1$.
		
		Dann $\sum |a_n|$ konv.
		
		\begin{Beweis}Beweis:
			\begin{quote}
			Sei $\tilde{q}:=\limsup \sqrt[n]{|a_n|},~\tilde{q}\in [0,1)$. 
			Wähle $q\in(\tilde{q},1)$. Dann ex. ein $N\in\N$ mit $\forall n\geq N:~\sqrt[n]{|a_n|}\leq q$. 
			Folgt: $\forall n>N:~|a_n|\leq q^n$.
			
			Nach Mayorantenkriterium: $\sum|a_n|$ konv.
			\end{quote}\end{Beweis}
		\end{quote}
	\subsection{Bemerkung}
		\begin{quote}
		Falls $\limsup \sqrt[n]{|a_n|}>1$ (oder $\sqrt[n]{|a_n|}$ unbeschr.), so ist $\sum a_n$ div.
		
		\begin{Beweis}Beweis:
			\begin{quote}
			Falls $\limsup \sqrt[n]{|a_n|}>1$, so ex. Teilfolge $(b_n)$ von $(a_n)$ mit $\sqrt[n]{|a_n|}>1$.
			Also $|b_n|>1$, also $a_n\cancel{\to} 0$, $\sum a_n$ div.
			\end{quote}\end{Beweis}
		\end{quote}
	\subsection{Cauchyscher Verdichtungssatz \& Leibnizkriterium}
		\begin{quote}
		Sei $(a_n)\subset \R$ monotone Nullfolge. Dann:
			\begin{itemize}
				\item[a)]
					$\sum a_n$ konv. $\Leftrightarrow$ $\underbrace{\sum_n 2^n\cdot a_{2^n}}_{\mbox{verdichtete Reihe}}$ konvergent.
				\item[b)]
					$\sum (-1)^n a_n$ konv. (Leibnizkriterium)
			\end{itemize}
		\begin{Beweis}Beweis:
			\begin{quote}
			zu a)
				\begin{quote}
				$s_n=\sum\limits_{j=0}^n a_j$. Es gilt $\sum a_n$ kon. $\Leftrightarrow$ $(a_n)$ beschr. $\Leftrightarrow$ $(a_{2^n})$ beschr.
				
				$s_{2n}=a_1+\underbrace{a_2+a_3}_{\leq 2n_2}+\overbrace{a_4+a_5}^{\geq 2a_5}+...+a_8+...+a_{2^{n-1}}+...+a_{2^n}$
				
				$\sum2^na_{2^n}$ konv. $\Rightarrow \sum a_n$ konv.
				
				Sei z.B. $a_i\geq 0\forall s\in\N$
				
				Man sieht $\sum a_n$ konv. $\Rightarrow \sum_n 2^{n-1}a_{2^n}$ konv. $\Rightarrow \sum_n 2^{n}a_{2^n}$ konv.
				\end{quote}
			zu b)
				\begin{quote}
				Für $k\in\N$ sei $s_k:=\sum\limits_{n=1}^k (-1)^na_n$. (Seien z.B. $a_n\geq 0~\forall n:~(a_n)$ fallend)
				
				Für gerade k: $s_{k+2}=s_k-a_{k+1}+a_{k+2}\leq s_k$;
				
				Für ungerade k: $s_{k+2}=s_k+a_{k+1}-a_{k+2}\geq s_k.$
				
				Also $(s_{2k})$ fallend, $(s_{2k+1})$ wachsend.
				
				Weiter $s_0\geq s_{2k}\geq s_{2k-1}\geq s_1$ für $k\in\N$, somit $(s_{2k})$ und $(s_{2k-1})$ monoton und beschr. also konv.
				\end{quote}
			\end{quote}\end{Beweis}
		Beispiel:
			\begin{quote}
			\begin{itemize}
				\item[1)]
					$\sum_n \frac{1}{n^k}$ konv. $\Leftrightarrow$ $\sum 2^n\frac{1}{(2^n)^k}$ konv. $\Leftrightarrow$
				  $\sum_n \frac{1}{(2^n)^{k-1}}$ konv. $\Leftrightarrow$ $\sum \left(\frac{1}{2^{k-1}}\right)^n$ konv.
				  $\abb{\Leftrightarrow}{geom. Reihe}~k>1$;  insbesondere $\sum\frac{1}{n}$ divergent.
				\item[2)]
					$\sum(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ konv. (nach Leibniz-Krit.) (Wert=$log_e(2)$)
			\end{itemize}
			\end{quote}
		\end{quote}
	\subsection{Folgerung}
		\begin{quote}
		Sei $K\in\N_0$ dann ist $\sum\limits_{n\geq 1}\frac{1}{n^k}$ konv. $\Leftrightarrow$ $k>1$ (Gilt auch für $k\in \R$)
		
		Beispiel: $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$
		\end{quote}
	\subsection{Definition/Satz: Umordnung}
		\begin{quote}
		Sei $(a_n)\subset \C$. Sei $P:\N\to\N$ (bzw. $\N_0\to\N_0$) bijektiv.
			\begin{quote}
				\begin{itemize}
				\item[a)]
					Dann heißt die Reihe $\sum\limits_n a_{\varphi(n)}$ eine Umordnung der Reihe $\sum\limits_n a_n$. 
					
					(Partialsummen: $\sum\limits_{n=1}^N a_{\varphi(n)}+...+a_{\varphi(N)}$)
				\item[b)]
					Falls $\sum\limits_n|a_n|$ konv., so konv auch jede Umordnung von $\sum\limits_n a_n$ gegen den selben Grenzwert.
				\item[c)]
					Falls $(a_n)\subset \R,~\sum\limits_n a_n$ konv., aber nicht abs. konv ($\sum\limits_n |a_n|$ diverg.), so gilt
					
					$\forall c\in\R~\exists~Umordnung \sum\limits_n a_{\varphi(n)}$, die gegen c konv. (Riemannscher Umordnungssatz)
				\end{itemize}
			\end{quote}
			\begin{Beweis}Beweis:
			\begin{quote}
				\begin{itemize}
				\item[b)]
					Sei $\varphi:\N\hookleftarrow$ bij., $\varepsilon >0$. Es gibt ein $N\in\N$ mit $\su{n\geq N}{}{|a_n|}<\varepsilon$, da $\sum |a_n|$ konv.
					
					Es ex. $M\in \N$ mit $\{1,...,N\}\subset \{\varphi(1),...,\varphi(M)\}$ 
					Für $n\geq M:\bigg|\su{j=1}{n}{a_{\varphi(n)}}-\su{j=1}{\infty}{a_j}\bigg|
					=\bigg|\su{\abb{l\in\N}{l\notin \{\varphi(1),...,\varphi(n)\}}}{}{a_l}\bigg|\leq\su{\abb{l\in\N}{l\notin \{\varphi(1),...,\varphi(n)\}}}{}{|a_l|}$
					
					$\leq\su{\abb{l\in\N}{l\notin \{\varphi(1),...,\varphi(M)\}}}{}{|a_l|}\leq\su{\abb{l\in\N}{l\notin \{1,...,N\}}}{}{|a_l|}<\varepsilon$
				\item[c)]
					Beweisskizze:
						\begin{quote}
							\begin{itemize}
							\item[1.] Es ist $\su{\abb{n}{a_n\geq 0}}{}{|a_n|}$ div. und $\su{\abb{n}{a_n<0}}{}{|a_n|}$ div (!).
							\item[2.]
								Sei $c\in\R$ nehme positive Summanden, bis Summe gerade $>c$, dann negiere Summanden bis $<c$, dann ...$>c$, dann ... $<c$...
								
								Konstruiere so rekursiv $P:\N\hookleftarrow$ bij. $\sum\limits_n a_{\varphi(n)}\to c$ folgt aus 
								$\abb{a_n\to 0}{n\to \infty}$, wegen $\sum a_n$ konv.
							\end{itemize}
						\end{quote}
				\end{itemize}
			\end{quote}
			\end{Beweis}
		\end{quote}
	\end{quote}
\section{Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit}
	\begin{quote}
	\subsection{Definition}
		\begin{quote}\parpic(1cm,2cm)(1cm,2cm)[r]{\includegraphics[width=0.1\textwidth]{Maphy_Bilder/8_1.PNG}}
		Sei $D\subset C$, $f:D\to \C$ (oder $f:D\to\R$), und $a\in \C$ (nicht unbeding $a\in D)$
		
		Es gebe eine Folge $(a_n)\subset D$ mit $a_n\to a$ (automatisch der Fall wenn $a\in D$).
		
		$f(x)$ hat für $x\mapsto a$ den Grenzwert y (In Zeichen: $\lim\limits_{x\to a} f(x)=y$), falls gilt:
		
		$\forall \varepsilon>0~\exists\delta>0~\forall x\in D,~|x-a|<\delta:~|f(x)-y|<\varepsilon$ .
		
		Entsprechend falls $R_0\in \R$ ex. mit $[R_0,\infty)\subset D:$
		
		\begin{quote}$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=y\Leftrightarrow \forall \varepsilon>0~\exists R>0~\forall x\geq R:~|f(x)-y|<\varepsilon$
		
		Analog für $\lim\limits_{n\to-\infty}f(x)=y \Leftrightarrow \forall \varepsilon>0~\exists R<0~\forall x\leq R:~|f(x)-y|<\varepsilon$
		\end{quote}\end{quote}
	\subsection{Definition/Bemerkung: Stetigkeit}
		\begin{quote}
		\begin{itemize}
			\item[a)]\parpic(0cm,2cm)(0cm,0cm)[r]{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Maphy_Bilder/8_2_1.PNG}}
				f wie in 8.1 heißt stetig im Punkt $a\in D$, falls gilt:
				
				$\forall\varepsilon>0~\exists\delta>0~\forall x\in D,~|x-a|<\delta:~|f(x)-f(a)|<\varepsilon$ .
				
				Äquivalent sind:
				\begin{quote}
					\begin{itemize}
					\item[1)]$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)$ ex. $(=f(a))$
					\item[2)]Für jede Folge $(x_n)\subset D,~x_n\to a$ gilt: $f(x)\to f(a)$
					\end{itemize}
				\end{quote}
				("`$\varepsilon-\delta$-Definition der Stetigkeit"')
			\item[b)]
				f heißt stetig, falls f bei allen Punkten $a\in D$ stetig ist.
		\end{itemize}\newpage
		Bemerkung:
		\begin{quote}\parpic(3cm,4cm)(0cm,4cm)[r]{\includegraphics[width=0.2\textwidth]{Maphy_Bilder/8_2_2.PNG}}
		\begin{itemize}
			\item[1)] Falls $D\subset \R$ Intervall, so bedeutet $f:D\to \R$ stetig anschaulich, dass man den Graphen von f "`ohne abzusetzen zeichnen"' kann.
			\item[2)] Sonst: Definition nachprüfen.
		\end{itemize}
		\end{quote}
		Beispiel:
			\begin{quote}
			\begin{itemize}
				\item[a)]$f:\R\hookleftarrow,~f(x)=x$ ist stetig
				\item[b)]$f:\N\to\R,~f(x)=x$ ist stetig
				\item[c)]$f:\R\hookleftarrow,~f(x)=\cas{\frac{1}{x}}{,x\neq 0}{0}{,x=0}$ ist stetig in allen Punkten $x\neq 0$, aber unstetig im Punkt $x=0$
				\item[d)]$f:\R\hookleftarrow,~f(x)=\cas{1}{x\in\Q}{0}{x\notin\Q}$ ist unstetig in allen Punkten ("`Dirichlet-Funktion"')
			\end{itemize}
			\end{quote}
		\end{quote}
	\subsection{Rechenregeln (analog zu Folgen)}
		\begin{quote}
		$\lim\limits_{x\to a}(f(x)\pmd g(x))=\lim\limits_{x\to a}f(x) \pmd \lim\limits_{x\to a}g(x)$, falls $f(x)$ und $g(x)$ existieren.
		
		Entsprechend für "`/"', falls $g(x)\neq 0$.
		
		Analog für $x\to\pm\infty$
		\end{quote}
	\subsection{Folgerung}
		\begin{quote}
		\begin{itemize}
			\item[a)]
				$f,g$ in $a\in \C$ und dort stetig, so auch $f\pmd g$ stetig bei a.
			
				Falls $g(a)\neq 0$, so auch $\frac{f}{g}$ bei a.
			\item[b)]
				f stetig in $a,~g$ stetig in $f(a)\Rightarrow~g\circ f$ stetig in a. 
		\end{itemize}
		\end{quote}
	\subsection{Definition: Gleichmäßige Stetigkeit}
		\begin{quote}
		Sei $D\subset \C,~f:D\to\C$ und $a\subset D$.
		
		f heißt gleichmäßig stetig auf A
		
		$\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0~\exists\delta>0~\forall a\in A~\forall x\in D,~|x-y|<\delta:~|f(x)-f(a)|<\varepsilon$.
		
		f stetig auf A würde bedeuten: 
		
		$\forall a\in A~\exists\delta>0~\forall\varepsilon>0~\forall x\in D,~|x-y|<\delta:~|f(x)-f(a)|<\varepsilon$.
		\end{quote}
	\end{quote}
\section{Stetige Funktionen auf Intervallen}
	\begin{quote}
	Sei stets $a,b\in \R,~a<b$. Ein Intervall der Form $[a,b]$ heißt kompaktes Intervall.
	\subsection{Zwischenwertsatz}
		\begin{quote}
		Sei $f:[a,b]\to\R$ stetig und $c\in[f(a),f(b)]$, falls $f(a)<f(b)$, sonst $c\in[f(b),f(a)]$.
		
		Dann $\exists \xi \in[a,b]:f(\xi)=c$
		
			\newpage\begin{Beweis}Beweis:
			\begin{quote}\parpic(0cm,2cm)(1cm,3.5cm)[r]{\includegraphics[width=0.25\textwidth]{Maphy_Bilder/9_1.PNG}}
			Betrachtet: Fall $f(a)<c<f(b)$ (Restliche Fälle analog bzw. trivial)
			
			Setze $M:=\{x\in[a,b]|x\leq c\}$. Dann $a\in M\subset[a,b]$.
			
			Setze $\xi:=sup(M)$. Dann $\xi\in[a,b]$. 
			
			Es ex. eine Folge $(x_n)\subset M,~x_n\to\xi$ (!).
			
			Da f stetig bei $\xi$, gilt: $f(x_n)\to f(\xi)$.
			
			Wäre $f(\xi)<c$, so würde wegen f st. bei $\xi$ ein $\delta >0$ ex. mit $\xi+\delta<b$ und
			$\forall x \in[\xi,\xi+b]$. $f(x)<c$.
			
			Wid. zu "`$\xi$ o.S. für M"', also $f(\xi)=c$
			\end{quote}
			\end{Beweis}
		\end{quote}
	\subsection{Satz: Extrema von st. Funktionen auf [a,b]}
		\begin{quote}
		Sei $f:[a,b]\to\R$ st. Dann nimmt f auf $[a,b]$ ein Min. und ein Max. an, d.h. 
		
		$\exists \xi\in[a,b]:f(\xi)=min\{f(x)|x\in[a,b]\}$
		
		$\exists \eta\in[a,b]:f(\eta)=max\{f(x)|x\in[a,b]\}$
		
		Beispiel: $f:[a,b]\to \R,~f(x)=x$ hat kein Minimum/Maximum.
		
		\begin{Beweis}Beweis:
			\begin{quote}
			1. Behauptung f ist beschr.
			\begin{Beweis}Beweis:
				\begin{quote}
				Sonst ex. zu jedem $n\in\N$ ein $x_n\in[a,b]$ 
				
				(Funktionale Abhängigkeit: $(n\in\N)\mapsto x_n$ benutzt Auswahlaxiom)
				
				mit $|f(x_n)|\geq n$. Nach Bolzano-Weierstraß ex. konv. Teilfolge $x_{\varphi(n)}$ von $(x_n)$ 
				mit $limes~x^*\in[a,b]~(a\leq x_{\varphi(n)}\leq b \Leftrightarrow a\leq x^*\leq b)$.
				
				Da f st. bei $x^*$, gilt $f(x_{\varphi(n)})\to f(x^*)$,
				
				aber andererseits $|f(x_{\varphi(n)})|\geq \varphi(n)\geq n$.
				 
				Wid $\Rightarrow$ f ist beschränkt.
				\end{quote}\end{Beweis}
			2. Sei $\sigma :=sup\{f(x)|x\in[a,b]\}$. Es ex. Folge $(x_n)\subset[a,b]$ mit $\abb{f(x_n)\to\sigma}{n\to\infty}$. 
			Nach Bolzano-Weierstraß ex. konv. Teilfolge 
			
			$(x_{\varphi(n)})\subset (x_n)$ mit $limes~x^*\in[a,b]$.
			
			Da f stetig bei $x^*$, ist $f(x^*)=\lim\limits_{n\to\infty}f(x^*)=\sigma$.
			
			Somit $\sigma:=max\{f(x)|x\in[a,b]\}~~(x\hat{=}\eta)$. Min analog.
			\end{quote}\end{Beweis} 
		\end{quote}
	\subsection{Folgerung}
		\begin{quote}
		Für $f:[a,b]\to\R$ st gilt: $f([a,b])=[min\{f(x)|x\in[a,b]\},max\{f(x)|x\in[a,b]\}]$ (gemeint $\{f(x)|x\in[a,b]\}$ 
		
		\begin{Beweis}Beweis: folgt aus 9.2 und Zwischenwertsatz 9.1\end{Beweis}
		
		Beispiel: $f:\Q\hookleftarrow,~f(x)=x^2,~~f(1)=1,~f(3)=9$. 2 tritt nicht als Funktionswert auf!
		\end{quote}
	\subsection{Satz}
		\begin{quote}
		Sei $D\subset\C;~[a,b]\subset D$ und $f:D\to\C$ st. Dann ist f auf $[a,b]$ sogar gleichmäßig stetig.
		
		\begin{Beweis}Beweis:
			\begin{quote}
			Annahme nicht. 
			
			Dann $\exists \varepsilon_0>0~\forall\delta>0~\exists x\in[a,b]\exists y\in D,~|x-y|<\delta,~|f(x)-f(y)|\geq\varepsilon_0$.
			
			Also ex. zu $\delta_n=\frac{1}{n}~x_n\in[a,b],~y_n\in D,~|x_n-y_n|<\frac{1}{n},~|f(x)-f(y)|\geq \varepsilon_0$.
			
			Nach Bolzano-Weiertraß ex. konv. Teilfolge $(x_{\varphi(n)})\subset(x_n)$ mit $\lim~x^*\in[a,b]$ wegen
			$|x_{\varphi(n)}-y_{\varphi(n)}|<\frac{1}{\varphi(n)}$ gilt auch $y_{\varphi(n)}\to x^*$.
			
			Dann, da f st. bei $x^*:f(x_{\varphi(n)})\to f(x^*),~f(y_{\varphi(n)})\to f(x^*)$.
			
			Widerspruch zu $|f(x_{\varphi(n)})-f(y_{\varphi(n)})|\geq \varepsilon_0~(\forall n\in\N)$
			\end{quote}\end{Beweis}
		\end{quote}
	\subsection{Definition: Konvergenz von Funktionsfolgen}
		\begin{quote}
		Sei $D\subset\C,~f_n:D\to\C $ Funktion für $n\in\N$ und $f:D\to\C$.
		
		$(f_n)$ konv. auf D punktweise gegen f 
		
		$\Leftrightarrow~\forall x\in D:~f_n(x)\abb{\longrightarrow}{n\to\infty}f(x)$.
			\begin{quote}
			(Bedeutet: $\forall x\in D~\forall\varepsilon>0~\exists N\in\N,~\forall n\geq N:~|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$
			
			(von $\varepsilon$ und n abhängig!))	
			\end{quote}
		$(f_n)$ konv. auf D gleichmäßig gegen f 
		
		$\Leftrightarrow~\forall\varepsilon>0~\exists N\in\N,~\forall n\geq N~\forall x\in D:~|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$.
			
		(nur von $\varepsilon$!)
		
		Beispiel:
			\begin{quote}
			$f_n:[0,1]\to\R,f_n(x):=x^n$\parpic(1cm,1cm)(0cm,0cm)[r]{\includegraphics[width=0.2\textwidth]{Maphy_Bilder/9_5_1.PNG}}
			
			$f_n$ stetig, $f_n(x)\abb{\longrightarrow}{n\to\infty}\begin{cases}0&x\in[0,1)\\1&x=1\end{cases}\bigg\}:=f(x)$
			
			\parpic(3cm,3cm)(2cm,1.5cm)[r]{\includegraphics[width=0.2\textwidth]{Maphy_Bilder/9_5_2.PNG}}
			$f_n\to f$ punktweise. z.B. für $\varepsilon=\kr{10}:
			~\cancel\exists N\in\N~\forall n\geq N:~\forall x\in[0,1]:|f_n(x)-f(x)|\leq\kr{10}$. $\bigg(\forall n\in\N:~f_n\bigg(\kr{\sqrt[n]{2}}\bigg)=\kr{2}\bigg)$
			\end{quote}
		\end{quote}
	\end{quote}
\section{Potenzreihen, spezielle Funktionen}
	\begin{quote}
	\subsection{Definition}
		\begin{quote}
		Sei $(a_n)_{n\in\N_0}\subset\C,~z_0\in\C$. Die (von $z\in\C$ abh.) Reihe $\sum\limits_{n\geq 0} a_n(z-z_0)^n$ heißt Potenzreihe mit Koeffizienten 
		$a_n$ und mit Entwicklungspunkt $z_0$. Sie definiert durch $f(z):=\sum\limits_{n\geq 0} a_n(z-z_0)^n$ überall dort, 
		wo sie konvergiert. (sicher für $z=z_0$)
		\end{quote}
	\subsection{Satz: Konvergeng von Potenzreihen}
		\begin{quote}
		Für eine Potenzreihe $\sum a_n(z-z_0)^n$ tritt genau einer der folgenden 3 Fälle ein:
		\begin{itemize}
			\item[1)] $\limsup\sqrt[n]{|a_n|}=0$, Potenzreihe konvergiert für alle $z\in\C$
			\item[2)] 
				$(\sqrt[n]{|a_n|})$ ist beschr., $\limsup\sqrt[n]{|a_n|}>0$.
				
				Dann ist mit $\rho:=\kr{\limsup\sqrt[n]{|a_n|}}$ (Cauchy-Hadamard):
				
				$\sum a_n(z-z_0)^n=\begin{cases}\text{divergent}&\text{falls }|z-z_0|>\rho\\\text{konvergent}&\text{falls }|z-z_0|<\rho\\\end{cases}$
			\item[3)]
				$\sqrt[n]{|a_n|}$ ist unbeschr., $\sum a_n(z-z_0)^n$ konvergent nur für $z=z_0$.
		\end{itemize}
		\begin{Beweis}Beweisidee:
		$\alpha_n:a_n(z-z_0)^n$, Wurzelkrit. für $\sum \alpha_n$.
		\begin{itemize}
			\item[1)]Falls $\sqrt[n]{|a_n|}\to 0 $ dann auch $\forall z\in\C:\sqrt[n]{|a_n|}\to 0$
			\item[2)]
				Falls $\limsup \sqrt[n]{|a_n|}=\kr{\rho}>0$, so $lim~sup \sqrt[n]{|a_n|}
				=\begin{cases}\>0&\text{falls } |z-z_0|>\rho\\<0&\text{falls }|z-z_0|<\rho\\\end{cases}$
			\item[3)] Falls $\sqrt[n]{|a_n|}$ unbeschr., so für $z\neq z_0$ auch $\sqrt[n]{|\alpha_n|}$
		\end{itemize}\end{Beweis}
		\end{quote}
	\subsection{Bemerkung: lokale gleichmäßige Konvergenz}
		\begin{quote}
		Auf jeder abgeschlossenen Kreisscheibe der Form $\{z\in\C||z-z_0|\leq r\}$, die ganz im offenen Konvergenzkreis $\{z\in\C||z-z_0|<\rho\}$ (Konvergenzradius $\rho$) konvergiert $\sum a_n(z-z_0)^n$ sogar gleichmäßig (absolut).
		
		Beweis:
			\begin{quote}
			Sei $\varepsilon>0, r$ wie angegeben. 
			
			Dann für $r\in\C,~|z-z_0|\leq r:$
			
			$\limsup\sqrt[n]{a_n(z-z_0)^n}\leq \overbrace{\underbrace{\limsup\sqrt[n]{|a_n|}}_{=
			\kr{\rho}\text{ bzw. }0}}^{\text{unabh. v. z mit }|z-z_0|\leq r}<1$.
			
			Also existiert $q\in[0,1)$ und $N_0\in\N$ mit $\forall n\geq N:~|a_n|\cdot|z-z_0|^n\leq q^n$.
			
			Es ex. $N_\varepsilon\geq N_0$ mit $\sum\limits_{n\geq N_\varepsilon}q^n<\varepsilon$, da $\sum\limits_{n}q^n$ konvergiert.
			
			Für $z\in \C$ mit $|z-z_0|\leq r$ folgt 
			
			$\bigg|\sum\limits_{n=0}^{N_\varepsilon}
			a_n(z-z_0)^n-\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(z-z_0)^n-\bigg|$
			
			$=\bigg|\sum\limits_{n\geq N_\varepsilon}a_n(z-z_0)^n\bigg|\leq \sum\limits_{n\geq N_\varepsilon}|a_n|\cdot|z-z_0|^n<\varepsilon$
			\end{quote}
		\end{quote}
	\subsection{Folgerung}
		\begin{quote}
		\parpic(3cm,3cm)(2cm,2cm)[r]{\includegraphics[width=0.1\textwidth]{Maphy_Bilder/10_4.PNG}}Die Summenfunktion $z\to\sum\limits_{n\geq 0}a_n(z-z_0)^n$ ist stetig im inneren des Konvergenzkreies.
		\newpage \begin{quote}\end{quote}
		\begin{Beweis}Beweisidee:
			\begin{quote}
			Sei $\rho$ der Konvergenzradius, $w\in\C,~|w-z_0|<\rho$.
			
			Dann mit $r:=\frac{|w-z_0|+\rho}{2}$ (bzw. $|w-z_0|+1$, falls $\rho=\infty$):
						
			$p_N(z):\sum\limits_{n=0}^{N}a_n(z-z_0)^n:~p_n|_{B(z_o,r)}\to f|_{B(z_o,r)}$ glm. 
			
			($f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n$, $p_n$ Polynomfunktion stetig)
			
			Nach Satz von Weierstraß: $f|_{B(z_o,r)}$ st. Falls nun $(w_j)$ Folge, $w_j\to w$, so:
			
			$\exists j_0~\forall j\to j_0: w_j\in B(z_o,r)$.
			
			Somit $f(w_j)=f|_{B(z_o,r)}w_j\abb{\longrightarrow}{j\to\infty}f|_{B(z_o,r)}(w)=f(w)$
			\end{quote}\end{Beweis}
		\end{quote}
	\subsection{Satz \& Definition}
		\begin{quote}
		Die Folgenden Potenzreihen konvergieren für alle $z\in \C$ absolut und definieren somit stetige Funktionen $\C\to\C$.
			\begin{quote}
			$exp(z)=\sum\limits_{j=0}^{\infty}\frac{z^j}{j!}=1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+...$
			
			$sin(z)=\sum\limits_{j=0}^{\infty}(-1)^j\frac{z^{2j+1}}{(2j+1)!}=z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\frac{z^7}{7!}+...$
			
			$cos(z)=\sum\limits_{j=0}^{\infty}(-1)^j\frac{z^{2j}}{(2j)!}=1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\frac{z^6}{6!}+...$
			\end{quote}
		\begin{Beweis}Beweis exemplarich für $exp(z)$:
			\begin{quote}
			$\left|\frac{\frac{z{j+1}}{(j+1)!}}{\frac{z^j}{j!}}\right|=\frac{|z|}{j+1}\leq \kr{2}$ für $j\geq 2|z|$ Quadrantenkriterium $\Rightarrow$ konvergent.
			\end{quote}\end{Beweis}
		Bemerkung:
		\begin{quote}
		\begin{itemize}
			\item[1)]$cos(-z)=cos(z)$ (gerade), $sin(-z)=-sin(z)$ (ungerade)
			\item[2)]Schreibweise oft auch $exp(z)=e^z$
			\item[3)]Für $x\in\R$ ist $exp(x),~sin(x),~cos(x) \in \R$
		\end{itemize}
		\end{quote}
		\end{quote}
	\subsection{Funktionalgleichung der exp-Funktion}
		\begin{quote}
		Für $x,z\in\C$ ist $exp(x+y)=exp(x)\cdot exp(y)$.
		
		\begin{Beweis}Beweis: $e^{x+y}$
		\begin{quote}
		$=\sum\limits_{j=0}^{\infty}\frac{(x+y)^j}{j!}=\sum\limits_{j=0}^{\infty}\frac{1}{j!}\cdot\bigg(\sum\limits_{l=0}^{n}\ub{j}{l}\cdot x^l\cdot y^{j-l}\bigg)$
		
		$=	\sum\limits_{l=0}^{\infty}\sum\limits_{j>l} \kr{j}x^ly^{j-l}\frac{j!}{l!(j-l)!}
		=\sum\limits_{l=0}^{\infty}\frac{x^l}{l!}\bigg(\sum\limits_{j\geq l}\frac{y^{j-l}}{(j-l)!}\bigg)$
		
		$=\sum\limits_{l=0}^{\infty}\frac{x^l}{l!}\bigg(\sum\limits_{j\geq l}\frac{y^{j}}{j!}\bigg)
		=\bigg(\sum\limits_{j\geq0}\frac{y^j}{j!}\bigg)\bigg(\sum\limits_{l\geq 0}\frac{x^l}{l!}\bigg)$
		
		$=e^y\cdot e^x$\end{quote}\end{Beweis}
		\end{quote}
	\subsection{Satz: Formel von Euler de Moivre}
		\begin{quote}
		\parpic(0cm,3cm)(0cm,3cm)[r]{\includegraphics[width=0.2\textwidth]{Maphy_Bilder/10_7.PNG}}Für alle $z\in\C$ gilt: $e^{iz}=cos(z)+isin(z)$.
		
		Speziell für $t\in\R:~ e^{it}=\underbrace{cos(t)}_{\in\R}+i\underbrace{sin(t)}_{\in\R}$.
		
		Also $cos(t)=\Re(e^{it})$, $sin(t)=\Im(e^{it})$.
		
		Weiter: $|e^{it}|=1$
		
		\begin{Beweis}Beweis:
			\begin{quote}
			\begin{itemize}
				\item[1.]
					$e^{iz}=\sum\limits_{j=0}^\infty\frac{iz)^j}{j!}$					
					$=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(iz)^{2k}}{(2k)!}+\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{(iz)^{2k+1}}{(2k+1)!}$
					$=\underbrace{\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k z^{2k}}{(2k)!}}_{=cos(z)}+i\underbrace{\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{(-1) z^{2k+1}}{(2k+1)!}}_{=sin(z)}$
				\item[2.]
					Für $t\in\R:~cos(t)\in\R,~sin(t)\in\R$
					
					und $cos(t)=\Re(e^{it}),~sin(t)=\Im(e^{it})$.
					
					Für $z=a+bi$ ist $|z|^2 =z\cdot \overline{z}=a^2+b^2$,
					
					also $|e^{it}|^2=e^{it}\cdot e^{-it}=(cos(t)+isin(t))\cdot (cos(t)-isin(t))$
					
					$=(cos(t)+isin(t))\cdot(cos(-t)+isin(-t))=e^0$,
					
					also $|e^{it}|=1$
			\end{itemize}
			\end{quote}\end{Beweis}
		\end{quote}
	\subsection{Folgerung}
		\begin{quote}
		$\forall z\in\C:cos^2(z)+sin^2(z)=1$	
		
		\begin{Beweis}Beweis:
			\begin{quote}
			$1=e^{iz}\cdot e^{-iz}=(cos(z)+isin(z))\cdot(cos(z)-isin(z))$
			
			$=cos^2(z)+cos(z)sin(z)-cos(z)sin(z) + sin^2(z)=cos^2(z)+sin^2(z)=1$
			\end{quote}\end{Beweis}
		\end{quote}
	\subsection{Folgerung: Additionstheoreme}
		\begin{quote}
		Für $x,y\in\R$ gilt:
			\begin{quote}
			$cos(x\pm y)=cos(x)cos(y)\mp sin(x)sin(y)$
			
			$sin(x\pm y)=sin(x)cos(y)\pm cos(x)sin(y)$
			\end{quote}
		\begin{Beweis}Beweis:
			\begin{quote}
			$e^{i(x+y)}=e^{ix}\cdot e^{iy}=(cos(x)+isin(x))\cdot(cos(y)+isin(y))$
			
			$=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)+i(sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y))$
			
			$=cos(x+y)+isin(x+y)$
			
			Vergleiche Real- und Imaginärteil!
			\end{quote}\end{Beweis}
		\end{quote}
	\end{quote}\newpage
\section{Differenzierbarkeit}
	\begin{quote}
	\parpic(0cm,3cm)(0cm,2.3cm)[r]{\includegraphics[width=0.23\textwidth]{Maphy_Bilder/11_1.PNG}}Notation: $B(z_0,\delta):=\{z\in\C||z-z_0|<\delta\}$ 
	
	für $z_0\in\C,~\delta>0,~B(x_0,\delta):=(x_0-\delta,x_0+\delta)$
	\subsection{Definition}
		\begin{quote}
		Sei $D\subset\C$ (oder $\R$) und $x_0\in D$ "`innerer Punkt"' von D (d.h. es ex. $\delta>0$ mit $B(x_0,\delta)\subset D$)
		
		Sei $f:D\to\C$ (oder $\R$)
			\begin{quote}
			\begin{itemize}
				\item[a)]
					f heißt bei $x_0$ differenzierbar (diffbar) 
					$\Leftrightarrow~\lim\limits_{\substack{x\to x_0\\x\neq x_0}} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ existiert.
					
					Der Grenzwert wird dann mit $f'(x_0)$ bezeichnet (auch $\frac{df}{dx}(x_0),~\dot{x}(x_0)$) 
					("`Ableitung von f an der Stelle $x_0$"')
				\item[b)]
					Falls f bei allen $x_0\in D$ diffbar, so heißt f diffbar.
					
					Dann heißt die Funktion $f':D\ni x_0 \to f'(x_0)$ Ableitung von f.
					
					Im reellen Fall: Steigung (Sekante) $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ (Differenzenquotient).
			\end{itemize}
			\end{quote}
		\subsection{Bemerkung}
			\begin{quote}
			Falls $x_0$ immer Punkt von D, so ist Diffbarkeit von f äquivalent mit jeder der folgenden Bedingungen:
			\begin{quote}
			\begin{itemize}
				\item[1)]
					$\exists \alpha\in\C:\forall \varepsilon>0\exists\delta>0\forall x\in
					B(x_0,\delta)\setminus\{x_0\}:\bigg|\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-\alpha\bigg|<\varepsilon$
				\item[2)]
					$\exists \alpha\in\C:\forall \varepsilon>0\exists\delta>0\forall x\in B(x_0,\delta):$
					
					$|f(x)-f(x_0)-\alpha(x-x_0)|\leq \varepsilon |x-x_0|$
				\item[3)]
					Es existiert $\delta>0$ und $\alpha \in\C $ und $ r:B(x_0,\delta)\to \C (\R)$ stetig bei $x_0,~r(x_0)=0$ so dass gilt:
				
					$\forall x\in B(x_0,\delta):f(x)=f(x_0)+\alpha(x-x_0)+r(x)(x-x_0)$
				
					(Fehler: $r(x)(x-x_0)$)
			\end{itemize}
			\end{quote}
			Bemerkung:
				\begin{quote}
				2) und 3) drücken aus, dass der Fehler in der Approximation
				
				$f(x)-f(x_0)\approx\alpha{x-x_0}$ auch bei Division durch $|x-x_0|$ für $x\to x_0$ gegen 0 konvergiert.
				
				Falls Bedingungen 1) bis 3) in 11.2 gelten, so ist $\alpha=f'(x_0)$
				\end{quote}
			\end{quote}
		\end{quote}
	\subsection{Linearität der Ableitung der Zuordnung \texorpdfstring{$f(x_0)\mapsto f'(x_0)$}{f(x0) nach f'(x0)}}
		\begin{quote}
		Falls f, g diffbar bei $x_0,\lambda\in\C$ so ist auf $(f+g)',~\lambda\cdot f$ diffbar bei $x_0$ 
		
		und $(f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0),~(\lambda f)'(x_0)=\lambda f'(x_0)$
		\end{quote}\newpage
	\subsection{Satz}
		\begin{quote}
		f bei $x_0$ diffbar $\abb{\Rightarrow}{\cancel{\Leftarrow}}$ f bei $x_0$ stetig.
		
		\begin{Beweis}Beweis:
			\begin{quote}
			"`$\Rightarrow$"' Nach 11.2 3): $f(x)=f(x_0)+\underbrace{\alpha(x-x_0)}_{x\to 0}
			+\underbrace{r(x)(x-x_0)}_{\substack{\to 0\\x\mapsto x_0}}
			\abb{\longrightarrow}{x\mapsto x_0}f(x_0)$
			
			"`$\cancel{\Leftarrow}$"' $f(x)=|x|$ bei $x_0=0\Rightarrow \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\begin{cases}+1&,x>0\\-1&x<0\end{cases}$
			
			$\Rightarrow \lim\limits_{\substack{x\to x_0\\x\neq x_0}}|x|$ existiert nicht.		
			\end{quote}\end{Beweis}
		\end{quote}
	\subsection{Bezeichnung}
		\begin{quote}
		Sei $f:D\to\C$ diffbar. f heißt stetig diffbar, falls $f':D\to\C$ stetig ist.
		
		Falls $f'$ wieder (bei $x_0\in D$) diffbar, so heißt $(f')':=f''$ bzw. $(f')'(x_0):=f''(x_0)$ zweite Ableitung von f (bei $x_0$).
		
		Entsprechend $f'''$, allgemein $f^{(k)}(x_0)$ bzw. $f^{(k)}$ (k-te Ableitung), $f^0:=f$.
		
		f heißt k-mal stetig diffbar, falls $f^{(k)}$ auf D existiert und stetig ist.
		In Zeichen: $f\in \m{C}^k(D,\C~(bzw.~\R))$. $f\in\m{C}^0(\C (\R))$ bedeutet 
		$f:D\to\C$ stetig. $\m{C}^\infty(D,\C(\R))$ bedeutut beliebig oft diffbare Funktion.
		
		Für $f:[a,b]\to\R$ bedeutet $f'(a)$ die rechtsseitige Ableitung
		($\lim\limits_{\substack{x\to a\\x>a}}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$), für $f'(b)$ die linksseitige Ableitung 
		($\lim\limits_{\substack{x\to b\\x<b}}\frac{f(x)-f(b)}{x-b}$)
		
		Entsprechend ist $\m{C}^k([a,b],\C(\R))$ zu verstehen.
		\end{quote}
	\subsection{Bemerkung}
		\begin{quote}
		Für $n\in\N_0$ ist $f:\C\to \R, z\mapsto z^n$ diffbar, $f'(z)=n\cdot z^{n-1}$ (0 für n=0)
		
		\begin{Beweis}Beweis:
			\begin{quote}
			$\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=\frac{z^n-z_0^n}{z-z_0}
			=$(geometrische Summenformel):$\frac{(z-z_0)\cdot \sum\limits_{j=0}^{n-1}z^j\cdot z_0^{n-1-j}}{z-z_0}$
			
			$=\sum\limits_{j=0}^{n-1}\underbrace{z^j\cdot z_0^{n-1-j}}_{\stackrel{\to z_0^{n-1}}{z\to z_0}}=n\cdot z_0^{n-1}$
			
			Für $n=0:f(z)=f(z_0)=1,~f'(z_0)=0$
			\end{quote}\end{Beweis}
		\end{quote}
	\subsection{Bemerkung}
		\begin{quote}
		Für $n\in\N$ ist $f:\C\setminus\{0\}\to\C,~z\mapsto z^{-n}$ diffbar, $f'(z)=-nz^{-n-1}$
		\end{quote}
	\subsection{Ableitungsregeln}
		\begin{quote}
		\begin{itemize}
			\item[a)]
				Produktregel:
			
				Seien f,g diffbar bei $x_0$ ($\in \R$ oder $\in\C$), dann auch $f\cdot g$.
				
				Und falls $g(x_0)\neq 0$, dann auch $\frac{f}{g}$ bei $x_0$ diffbar.
			
				$(f\cdot g)'(x_0)=f'(x_0)\cdot g(x_0)+f(x_0)\cdot g'(x_0)$
			\item[b)]
				Kettenregel:
			
				f diffbar bei $x_0$, g diffbar bei $f(x_0)\Rightarrow g(f(x_0))$ diffbar bei $x_0$ .
				
				$(f\circ f)'(x_0)=g'(f(x_0))\cdot f'(x_0)$
		\end{itemize}
		\begin{Beweis}Beweis:
			\begin{quote}
			\begin{itemize}
				\item[a)]Nein
				\item[b)]
					Idee: $f(x)=f'(x_0)(x-x_0)+r(x)(x-x_0)+f(x_0)$, $g(x)$
					
					$=g'(x_0)(x-x_0)+\tilde{r}(x)(x-x_0)+r(x_0)$
					
					$\Rightarrow g(f(x))=g(f(x_0))+g'(f(x_0))(f'(x_0)(x-x_0)+r(x)(x-x_0))$
					
					$+\tilde{r}(f(x))(f(x_0)(x-x_0)+r(x)(x-x_0))$
					
					$=g(f(x))=g(f(x_0))+g'(f(x_0))(f'(x_0)(x-x_0))$
					
					$+\underbrace{g'(f(x_0))r(x)(x-x_0)+\tilde{r}(f(x))(f(x_0)(x-x_0)+r(x)(x-x_0))}_{=:R(x)}$
					
					z.z.: $\lim\limits_{\substack{x\to x_0}{x\neq x_0}}\frac{R(x)}{x-x_0}=0$ .
					
					Dies folgt aus $r(x)\abg{x}{0}0$ und $\tilde{r}(x)\abg{x}{0}0$
					
					Beachte: $f(x)\abg{x}{x_0}f(x_0)$, da f stetig bei $x_0$
					
					Bemerkung zur Beweisidee bzw. "`klassischen"' Schreibweise (Leibniz):
						\begin{quote}
						z.B. Produkt: $f(x)=f(x_0)+\Delta f$, $g(x)=g'(x_0)+\Delta g$
						
						$\Rightarrow (f\cdot g)=f(x_0)g(x_0)+\Delta f g(x_0) + \Delta g f(x_0)+\Delta f\Delta g$
						
						Leibniz: $\delta(f\cdot g)=\delta fg+f\delta g$
						\end{quote}
			\end{itemize}
			\end{quote}\end{Beweis}
		Man sieht: Ableitung (=Limes von Diffquot) vereinfacht die Formeln, die man für endliche Differenzen kriegen würde.
		\end{quote}
	\subsection{Satz: Diffbarkeit von Potenzreihen}
		\begin{quote}
		Sei $z_0\in\C$, $\varrho>0$, die Potenzreihe $\sum a_n(z-z_0)^n$ konvergiere auf $B(z_0,\varrho)$.
		
		\begin{itemize}
			\item[a)] 
				Dann ist die Summenfunktion $f:B(z_0,\varrho)\to\C;~f(z)=\su{n=0}{\infty} a_n(z-z_0)^n$ diffbar und 
				$f'(z)=\su{n=1}{\infty} a_n\cdot n(z-z_0)^{n-1}$ (Gliedweises Differenzieren) .
			\item[b)]
				Die abgeleitete Potenzreihe hat den selben Konvergenzradius wie die ursprüngliche.
		\end{itemize}
		\begin{Beweis}Beweis:
			\begin{quote}
			\begin{itemize}
				\item[a)]
					Der Fall $z_0=0$: Für z: $w\in B(0,\varrho),~z\neq w$ ist $\frac{f(z)-f(w)}{z-w}=\frac{\su{n=1}{\infty}a_n(z^n-w^n)}{z-w}$
				
					$=\frac{\cancel{(z-w)}\overbrace{\su{n=1}{\infty}a_n\su{j=0}{n-1}z^j
					w^{n-j-1}}^{=:\varphi_w(z)}}{\cancel{(z-w)}}=\su{j=0}{\infty}z^j\su{n=j+1}{\infty}a_n w^{n-j-1}$
					
					(Doppelreihe konvergiert bzgl. z gleichmäßig auf $B(0,\tilde{\varrho}),~\tilde{\varrho}:=\frac{|w|+\varrho}{2}$).
					
					$\varphi_w$ stetig bei $z=w$, also: ex. $lim\varphi_w(z)=\varphi_w(w)=\su{n=1}{\infty}a_nnw^{n-1}$
					
					Also $f^n(w)$ ex. $=\su{n=1}{\infty}a_nnw^{n-1}$
					
					Falls $z_0\neq0$: Betrachte $\tilde{f}(z)=f(z_0+z),~z\in B(0,\beta)$, wende obigen Fall an.
				\item[b)] folgt aus $\sqrt[n]{n}\abg{n}{\infty}1$
			\end{itemize}
			\end{quote}\end{Beweis}
		\end{quote}
	\subsection{Folgerung}
		\begin{quote}
		$exp,~sin,~cos\in \m{C}^\infty(\C,\C)$ und $exp'=exp,~sin'=cos,~cos'=-sin$
		
		\begin{Beweis}Beweis:
			\begin{quote}
			$exp'(z)=\su{j=1}{\infty}\kr{j!}\cdot j\cdot z^{j-1}=\su{j=1}{\infty}\frac{z^{j-1}}{(j-1)!}=\su{j=0}{\infty}\frac{z^j}{j!}=exp(z)$
			
			Rest ähnlich oder nach $cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$
			\end{quote}\end{Beweis}
		\end{quote}
	\subsection{Folgerung}
		\begin{quote}
		Falls $f(z)=\su{n=0}{\infty}a_n(z-z_0)^n$ (auf $B(0,\varrho)$ konv. Potenzreihe), so ist 
		
		$\forall n\in\N:a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}$, also $f(z)=\su{n=0}{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n$
		
		\begin{Beweis}Beweis:
			\begin{quote}
			$f(z)=\su{k=0}{n}a_k(z-z_0)^k+\su{k=n+1}{\infty}a_k(z-z_0)^k$, $f^{(n)}(z_0)=a_n\cdot n!+0+0$, $a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}$
			\end{quote}\end{Beweis}
		\end{quote}
	\subsection{Folgerung: Identitätssatz für Potenzreihen}
		\begin{quote}
		Seien $f(z)=\sum a_n(z-z_0)^n,~g(z)=\sum b_n(z-z_0)^n$ auf $B(z_0,\varrho)$ konv. Potenzreihen und es gebe 
		$(w_j)\subset B(z_0,\varrho), w_j\to z_0, w_j\neq z_0$, $\forall j\in\N:f(w_j)=g(w_j)$.
		
		Dann $\forall n\in\N_0:a_n=b_n$
		
		\begin{Beweis}Beweis:
			\begin{quote}
			$f(z_0)=\lim\limits_{j\to\infty} f(z_j)=\lim\limits_{j\to\infty} g(w_j)=g(z_0)=a_0=b_0$
			
			Sei $a_j=b_j,~j=0,...,n$ gezeigt.
			
			Dann $f(z)-g(z)=\su{j\geq n+1}{}(a_j-b_j)(z-z_0)^{n+1}=(z-z_0)\underbrace{\su{k=0}{\infty}(a_{n+1+k}-b_{n+1+k})(z-z_0)^k}_{=:h(z)}$
			
			Für $j\in\N:~0=f(w_j)-g(w_j)=\underbrace{(w_j-z_0^{n+1})}_{\neq 0}\cdot h(w_j)$,
			
			also $h(z_0)=0=a_{n+1}-b_{n+1}$.
			
			Somit $\forall n\in\N_0:a_n=b_n$.
			\end{quote}\end{Beweis}
		\end{quote}
	\subsection{Definition: Lokale (und andere) Extrema}
		\begin{quote}
		Sei $D\subset \C,~f:D\to\R$. $f$ hat bei $x_0\in D$ ein lokales Maximum (Minimum) 
		
		$\Leftrightarrow$ $\exists \delta>0\forall x\in D\cap B(x_0,\delta):f(x)\leq(\geq)f(x_0)$.
		
		Ein Max (Min) bei $x_0$ heißt strikt, falls für $x\neq x_0$ die Ungleichung strikt ist ($<(>)$ statt $\leq(\geq)$) 
		
		Ein Max (Min) bei $x_0$ heißt global, falls $\forall x\in D: f(x)\leq(\geq) f(x_0)$
		\end{quote}
	\subsection{Extrema \& Ableitungen}
		\begin{quote}
		Sei $f$ bei $x_0$ diffbar und habe dort ein lokales Extremum (Max/Min).
		
		Dann ist $f'(x_0)=0~(f:D\to\R,~D\subset\R)$
		
		\begin{Beweis}Beweis:
			\begin{quote}
			Da $f$ diffbar bei $x_0$ ist $x_0$ innerer Punkt von D, also ex. $\delta>0$ mit 
			$\underbrace{(x_0-\delta,x_0+\delta)}_{=:I}\subset\R$ und $f(x_0)$ größter/kleinster Funktionswert in I.
			
			Für $x\in I,~x\neq x_0$ ist im Fall "`Max"' $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\begin{cases}\leq 0&\text{,falls } x>0\\\geq 0&\text{,falls } x<0\end{cases}$
			
			Folgt $\lim\limits_{\substack{x\to x_0\\x\neq x_0}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=0$.
			
			Fall "`Min"' analog.
			\end{quote}\end{Beweis}
		Beispiel:
			\begin{quote}
			$f:[0,1]\to\R,~f(x)=x,~f$ hat bei 0 Minimum, bei 1 Maximum, aber $f'(0)\neq 0~~\wedge~~f'(1)\neq 0$
			\end{quote}
		\end{quote}
	\end{quote}\newpage
\section{Mittelwertsatz, Monotonie \& Logarithmus}
	\begin{quote}
	\subsection{Satz von Rolle}
		\begin{quote}
		\parpic(2cm,2cm)(0cm,1cm)[r]{\includegraphics[width=0.2\textwidth]{Maphy_Bilder/12_1.PNG}}Sei $f:[a,b]\to\R$ st. und auf $(a,b)$ diffbar und $f(a)=f(b)=0$.
		
		Dann ex. $\xi\in(a,b)$ mit $f'(\xi)=0$
		
		\begin{Beweis}Beweis:
			\begin{quote}
			Nach §6 nimmt auf $[a,b]$ ein Max und ein Min an, etwa bei $\xi_1$ bzw. $\xi_2$.
			
			Falls $\{\xi_1,\xi_2\}\subset\{a,b\}$, so $f=0$ auf $[a,b]$. Behauptung klar.
			
			Sonst ex. $j\in\{1,2\}$ mit $\xi_j\in(a,b)$.
			
			Nach 11.14: $f'(\xi_j)=0$
			\end{quote}\end{Beweis}
		\end{quote}
	\subsection{Mittelwertsatz}
		\begin{quote}
		\parpic(0cm,3cm)(0cm,1cm)[r]{\includegraphics[width=0.15\textwidth]{Maphy_Bilder/12_2.PNG}}Sei $f:[a,b]\to \R$ st. und auf $(a,b)$ diffbar.
		
		Dann ex. $\xi\in(a,b)$ mit $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)$
		
		\begin{Beweis}Beweis:
			\begin{quote}
			$\varphi:[a,b]\to \R$, $\varphi(r):=f(t)-(f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(1-a))$
			
			$\varphi$ ist st. und auf $(a,b)$ diffbar.
			
			$\varphi(a)=0$, $\varphi(b)=0$.
			
			Nach Rolle ex. $\xi\in(a,b):\varphi'(\xi)=0=f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
			\end{quote}\end{Beweis}
		\end{quote}
	\subsection{Folgerung: Ableitung \& Monotonie}
		\begin{quote}
		Falls f auf $(a,b)$ diffbar und auf $[a,b]$ st., so gilt:
		
		$f'\geq 0~(>0)$ auf $(a,b)\Rightarrow$ f (streng) wachstend auf $[a,b]$.
		
		$f'\leq 0~(<0)$ auf $(a,b)\Rightarrow$ f (streng) fallend auf $[a,b]$.
		
		\begin{Beweis}Beweis:
			\begin{quote}
			Falls z.B. $f'>0$ auf $(a,b)$, so ex. für $x,y\in[a,b],~x<y$ ein $\xi\in[x,y]:\underbrace{\frac{f(y)-f(x)}{y-x}}_{>0}=f'(\xi)>0$, 
			
			also $f(y)>f(x)$. Rest analog.
			\end{quote}\end{Beweis}
		\end{quote}
	\subsection{Folgerung}
		\begin{quote}
		Sei $x_0$ innerer Punkt des Intervalles I und sei $f:I\to\R$ diffbar, in $x_0$ zweimal diffbar.
		
		Dann gilt: $f'(x_0)=0, f''(x_0)>0\Rightarrow f$ hat lokales Minimum.
		
		Dann gilt: $f'(x_0)=0, f''(x_0)<0\Rightarrow f$ hat lokales Maximum.
		
		\begin{Beweis}Beweisidee:
			\begin{quote}
			Falls $f'(x_0)=0<f''(x_0)$, dann für $x$ nahe $x_0:$
			
			$f'(x)=\begin{cases}>f'(x_0)& \text{ falls }x>x_0\\<f'(x_0)& \text{ falls }x<x_0\\\end{cases}(da \frac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}>0)$
			
			Also ex. $\delta>0$ mit f str. steigend auf $[x_0,x_0+\delta]$ bzw. fallend auf $[x_0-\delta,x_0]$.
			
			Somit bei $x_0$ lokales Minimum.
			\end{quote}
			\end{Beweis}
			Bemerkung:
				\begin{quote}
				Unter der Vorr. von 12.4 gilt:
				
				$f$ hat bei $x_0$ lok. Min$\Rightarrow f''(x_0)\geq 0$ bzw. $f$ hat lokales Max$\Rightarrow f''(x_0)\leq 0$.
				\end{quote}
		\end{quote}
	\subsection{Satz: Ableitung der Umkehrfunktion}
		\begin{quote}
		Sei $f:[a,b]\to \R$ diffbar und $f'>0 (<0)$. Dann ist $f$ injektiv und die Umkehrfunktion $f^{-1}:\underbrace{f([a,b])}_{Bild}\to[a,b]$ ist diffbar,
		es gilt: $(f^{-1})'(y)=\kr{f'(f^{-1}(y))} = f'(f^{-1}(y))^{-1} (\forall y \in f([a,b]))$ 
		
		\begin{Beweis}Beweisidee:
			\begin{quote}\parpic(0cm,3cm)(0cm,2cm)[r]{\includegraphics[width=0.2\textwidth]{Maphy_Bilder/12_5.PNG}}
			$x\stackrel{f}{\mapsto}f(x)=y\stackrel{f^{-1}}{\mapsto}x$
			
			"`$\stackrel{f}{\mapsto}$"': lokaler Streckfaktor $\approx f'(x)$
			
			"`$\stackrel{f^{-1}}{\mapsto}$"': lokaler Streckfaktor $\approx\kr{f'(x)}\approx f^{(-1)}(y)$
			\end{quote}\end{Beweis}
		\end{quote}
	\subsection{Folgerung \& Definition: log}
		\begin{quote}		\parpic(4cm,4cm)(0cm,2cm)[r]{\includegraphics[width=0.2\textwidth]{Maphy_Bilder/12_6.PNG}}
		Die auf $\R$ eingeschränkte exp-Funktion $exp|_\R:\R\to\R$ ist positiv und streng wachsend mit $exp(\R)=(0,\infty)$.
		
		Sie hat eine Umkehrfunktion $log:(0,\infty)\to\R$.
		
		Es gilt: $log'(x)=\kr{x}~(x\in (0,\infty))$
		
		\begin{Beweis}Beweis:
			\begin{quote}
			\begin{itemize}
				\item[1.]Für $x\geq 0: exp(x)=1+x-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}-...\geq 1$. Für $x<0: exp(x)=exp(-x)^{-1}\in(0,1)$.
				\item[2.]Wegen $exp'=exp>0$ ist exp str. wachsend. Weiter $exp'(x)
				\abbn{\longrightarrow}{x\to\infty}{\normalsize}{\footnotesize}\infty$, $exp'(x)\abbn{\longrightarrow}{x\to-\infty}{\normalsize}{\footnotesize}0$.
				
				Mit ZWS folgt: $exp(\R)=(0,\infty)$. Ex. die Umkerhfunktion $log:(0,\infty)\to\R$ klar.
				
				Nach 12.5 ist für $y \in(0,\infty): log'(y)=\kr{exp'(log(y))}=\kr{exp(log(y))}=\kr{y}$.
				\end{itemize}
			\end{quote}
			\end{Beweis}
		\end{quote}
	\subsection{Definition: Allgemeine Potenz}
		\begin{quote}
		Für $\alpha, x>0$ sei $x^\alpha=exp(\alpha\cdot log(x))$
		\end{quote}
	\subsection{Rechenregeln}
		\begin{quote}
		Für $x,y>0$, $\alpha$, $\beta\in\R$ ist $log(xy)=log(x)+log(y)$, $log(\frac{x}{y}=log(x)-log(y)$, 
		$log(x^\alpha)=\alpha\cdot log(x)$, $x^{\alpha+\beta}=x^\alpha\cdot x^\beta$
		
		\begin{Beweis}Beweis:
			\begin{quote}
			folgt im wesentlichen aus Funktionalgleichungs für exp.
			
			z.B. $xy=exp(log(xy))=exp(log(x)+log(y))=exp(log(x))\cdot exp(log(y))=x\cdot y$, also da exp auf $\R$ inj. $log(xy)=log(x)+log(y)$.
			\end{quote}\end{Beweis}
		\end{quote}
	\subsection{Satz: e-Funktion schlägt alles tot}
		\begin{quote}
		Für $\alpha\in\R$ und $\lambda>0$ ist $\lim\limits_{x\to\infty}x^\alpha\cdot e^{-\lambda x}=0$
		
		\begin{Beweis}Beweis:
			\begin{quote}
			Sei $\alpha \in\R$. Für $x\geq 1 $ ist $|x^\alpha|\leq x^{|\alpha|}$.
			
			Es ex. ein $j_0\in \N$ mit $j_0\geq |\alpha|+1$.
			
			Für $x\geq 1$ ist $|\frac{x^\alpha}{e^x}|\leq\frac{x^{|\alpha|}}{1+\lambda
			x+\frac{\lambda^2}{2!}x^2+...+\frac{\lambda^{j_0}}{j_0!}x^{j_0}+...}\leq\frac{x^{|\alpha|}}{\frac{\lambda^{j_0}}{j_0!}x^{j_0}}
			\leq \frac{j_0!}{\lambda j_0}\cdot \frac{x^{|\alpha|}}{x^{|\alpha|+1}}=\frac{j_0!}{j_0}\cdot \kr{x}\abg{x}{\infty}0$
			\end{quote}\end{Beweis}
		\end{quote}
	\subsection{Folgerung: Potenzwachstum stärker als logarithmisches}
		\begin{quote}
		Für $\alpha>0$ ist:
			\begin{itemize}
				\item[a)]$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{log(x)}{x^\alpha}\to 0$
				\item[b)]$\lim\limits_{x\to 0}x^\alpha \cdot log(x)\to 0$
			\end{itemize}
		\end{quote}
	\subsection{Definition: Allgemeine Exp-Funktionen, allgemeiner Logarithmus}
		\begin{quote}
		Für $a>0$ und $x\in\R$ ist $a^x=exp(log(a^x))$.
		
		Man setzt $log_a(x)=\frac{log(x)}{log(a)}$. Dann $a^{log_a(x)}=x$.
		
		Speziell: $log_{10}$: Zehner-Logarithmus/dekadischer Logarithmus 
		\end{quote}
	\subsection{Bemerkung}
		\begin{quote}
		Für $|x|<0$ ist $log(x+1)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}-\frac{x^4}{4!}+...$
		\end{quote}
	\end{quote}
\section{Taylorsche Satz}
	\begin{quote}
	Sei $f(z):=\su{n=0}{\infty}a_n(z-z_0)^n$ in einer Kreisscheibe um $z_0$. (Dann: $a_n=\frac{f^{(n)}(z_0}{f^{(n)}n!}$)
	
	Das k-te Taylorpolynom bei $z_0$ ist def. durch $(T_{z_0}^k f)(z):=\su{n=0}{\infty}\frac{f^{(n)}z_0}{n!}\cdot (z-z_0)^n$.
	
	$T_{z_0}^k f\to f$ sogar glm. auf jedem Kreis um $z_0$.
	
	Taylorsche Satz beschreibt den Approximationsfehler und zwar auch für $f$, die nicht unbedingt durch Potenzreihe gegeben sind.
	\subsection{Bemerkung}
		\begin{quote}
		$\frac{d}{dt}\bigg((T_{t}^k f)(z)\bigg)=\frac{f^{(k+1)}(t)\cdot (z-k)^k}{k!}$, falls $f^{(k+1)}(t)$ ex.
		\end{quote}
	\subsection{Satz: Taylor}
		\begin{quote}
		Sei $I\subset\R$ off. Intervall, $k\in\N_0$ mit $f:I\to\R (k+1)$ mal diffbar.
		
		Dann ex. für $x_0, x\in I, x\neq x_0$ ein $\xi$ zwischen $x_0$ und $x$, so dass gilt:
		
		$f(x)=\underbrace{f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2+...
		+\frac{f^{(k)}x_0}{k!}(x-x_0)^k}_{=(T_{x_0}^k f)(x)} + \underbrace{\frac{f^{(k+1)}(\xi)}{(k+1)!}(x-x_0)^{k+1}}_{Lagrange-Restglied}$
		
		\begin{Beweis}Beweis:
			\begin{quote}
			Es ex. genau ein $\varrho\in\R$ mit $f(x)-(T_{t}^k f)(x)=\frac{\varrho(x-x_0)^{k+1}}{(k+1)!}$.
			
			z.z: $\exists\xi~zw.~ x_0,x:\varrho=f^{(k+1)}(\xi)$.
			
			Für $g:I\to\R$, $g(t):=f(x)-(T_{t}^k f)(x)-\frac{\varrho(x-t)^{k+1}}{(k+1)!}$ gilt: $g(x_0)=0$ (Wahl von $\varrho$)
			
			$\Rightarrow g(x)=f(x)-(T_{t}^k f)(x)=0$.
			
			Nach Rolle ex. $\xi$ zwischen $x_0 $ und $x$: $0=g'(\xi)=-\frac{f^{(k+1)}(\xi)(x-\xi)^k}{k!}-\frac{\varrho}{(k+1)!}\cdot (k+1)(x-\xi)^k\cdot(-1)$
			
			Also $0=-f^{(k+1)}(\xi)(x-\xi)^k-\varrho (x-\xi)^k$, $\varrho f^{(k+1)}(\xi)$.
			\end{quote}\end{Beweis}
		Bemerkung:
			\begin{quote}
			Falls $f$ beliebig oft diffbar, kann es sein, dass:
			
			Schlecht:
			\begin{itemize}
				\item[1)]die Taylorreihe $\su{n=0}{\infty}\frac{f^(n)(z_0)}{n!}(z-z_0)^n$ nur für $z=z_0$ konvergiert.
				\item[2)]die Taylorreihe in einem Kreis um $z_0$ konvergiert, aber nicht glm. gegen $f(z)$.
			\end{itemize}
			Gut:
			\begin{itemize}
				\item[3)]die Taylorreihe in einem Kreis um $z_0$ gegen $f$ konvergiert.
			\end{itemize}
			
			Welcher Fall eintritt hängt davon ab, wo die Taylorreihe konvergiert bzw. wo das Restglied gegen 0 geht (für $k\to\infty$).
			\end{quote}
		Beispiel:
			\begin{quote}
			$f(x):=\begin{cases}0&x=0\\e^{-\kr{x^2}}&x\neq 0\end{cases}, f\in C^\infty(\R,\R)$,
			
			(Idee: Für Polynomfunktion p von $\lim\limits_{x\to0}p(\kr{x})e^{-\kr{x^2}}=0$)
			
			$\forall k\in \N:f^{(k)}(0)=0$, $\forall k\in\N_0\forall x\in\R:(T_0^kf)(x)=0$ 
			
			Ähnlich $g(x):=\begin{cases}0&x\leq0\\e^{-\kr{x}}&x>0\end{cases}$
			\end{quote}
		\end{quote}
	\subsection{Anwendung: Abschätzung von \texorpdfstring{$cos(z)$}{cos(z)}}
		\begin{quote}
		$cos(x)=\underbrace{cos(0)}_{1}+\underbrace{cos'(0)}_{0}x+\underbrace{\frac{cos''(0)}{2!}}_{-\kr{2}}x^2
		+\underbrace{\frac{cos'''(0)}{3!}}_{0}x^3+\underbrace{\frac{cos^{(4)}(\xi)}{4!}}_{|...|\leq\kr{4!}}x^4$
		
		$cos(2)=1-\kr{2}\cdot 2^2+R$, $|R|\leq \kr{4!}cdot 2^4=\frac{16}{24}=\frac{2}{3}\Rightarrow cos(2)$. Also $cos(2)<0$.
		\end{quote}
	\end{quote}
\section{Weitere elementare Funktionen}
	\begin{quote}
	\subsection{Satz \& Definition: \texorpdfstring{$\pi$}{Pi}}
		\begin{quote}
		Es ist $cos(0)=1$, $cos(z)<0$, $cos$ hat in $[0,2]$ eine kleinste NS $\xi$ und $\xi>0$. Man definiert $\pi=2\xi$, also $\xi=\frac{\pi}{2}$.
		\end{quote}
	\subsection{Folgerung: Symmetrien von sin bzw. cos}
		\begin{quote}		\parpic(0cm,3cm)(1cm,3cm)[r]{\includegraphics[width=0.35\textwidth]{Maphy_Bilder/14_2.PNG}}
		Für $x\in\R$ gilt:
		\begin{itemize}
			\item[a)]$cos(-x)=cos(x)$, $sin(-x)=-sin(x)$
			\item[b)]$cos(\frac{\pi}{2}-x)=sin(x)$, $sin(\frac{\pi}{2}-x)=cos(x)$
			\item[c)]$cos(x\pm\pi)=-cos(x)$, $sin(x\pm\pi)=-sin(x)$
			\item[d)]$cos(x\pm2\pi)=cos(x)$, $sin(x\pm2\pi)=sin(x)$
			\item[e)]$sin'(x)>0$ auf $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$, $sin'(x)<0$ auf $(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2})$
		\end{itemize}
		
		\begin{Beweis}Beweis:
			\begin{quote}
			\begin{itemize}
				\item[a)]aus Reihenentwicklung.
				\item[e)]1. Teil: $sin'(x)=cos(x)>0$ auf $(0,\frac{\pi}{2})$ nach Def. von $\pi$. Auch auf $(-\frac{\pi}{2},0)$ wegen Symmetrie!
				\item[b)]
					$cos(\frac{\pi}{2}-x)=cos(\frac{\pi}{2})\cdot
					cos(-x)-\underbrace{sin(\frac{\pi}{2})sin(-x)}_{\substack{cos^2+sin^2=1\\sin~steigend\\auf~[0,\frac{\pi}{2}]}}=sin(x)$, Rest leicht.
				\item[c), d)] leicht.
				\item[e)]2. Teil: $sin'(x)=cos(x)=\underbrace{-cos(\underbrace{x-\pi}_{\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})})}_{<0}$ für $x\in(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2})$
			\end{itemize}
			\end{quote}\end{Beweis}
		\end{quote}
	\subsection{Definition}
		\begin{quote}		\parpic(0cm,2cm)(0cm,1.3cm)[r]{\includegraphics[width=0.2\textwidth]{Maphy_Bilder/14_3_1.PNG}}
		Für $z\in\Z$, $cos(z)\neq 0: tan(z):=\frac{sin(z)}{cos(z)}$.
		
		Falls $sin(z)\neq 0: cot(z):=\frac{cos(z)}{sin(z)}$\parpic(0cm,2cm)(1cm,4cm)[r]{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Maphy_Bilder/14_3_2.PNG}}
		
		Reelle Versionen: $cot:\R\setminus\{k\pi|k\in\Z\}\to\R$, $tan:\R\setminus\{\frac{\pi}{2}+k\pi|k\in\Z\}\to\R$, 
		
		$tan'(x)=\kr{cos^2(x)}$, $cot'(x)=\kr{sin^2(x)}$
		\end{quote}
	\subsection{Satz/Definition: Inverse trigonometrische Funktionen}
		\begin{quote}
		$sin|_{[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]}$, $cos|_{[0,\pi]}$, $tan|_{(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})}$ sind streng monoton und haben Umkehrfunktionen, die mit
		
		$arcsin:[-1,1]\to[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$, $arcsin:[-1,1]\to[0,\pi]$, $arctan:\R\to(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ bezeichnet werden können.
		
		Für $x\in (-1,1)$ (für $arcsin/arccos$) bzw. für $x\in\R$ (für $arctan$) gilt:
		
		$arcsin'(x)=\kr{\sqrt{1-x^2}}$, $arccos'(x)=-\kr{\sqrt{1-x^2}}$, $arctan'(x)=\kr{1+x^2}$
		
		\begin{Beweis}Beweis:
			\begin{quote}
			Monotonie klar. Ableitung: 
			
			$arcsin'(x)=\kr{sin'(arcsin(x)}=\kr{cos(arcsin(x))}=\kr{\sqrt{1-sin^2(arcsin(x))}}=\kr{\sqrt{1-x^2}}$
			
			$arccos'(x)=\kr{cos'(arccos(x)}=-\kr{sin(arccos(x))}=-\kr{\sqrt{1-cos^2(arccos(x))}}=-\kr{\sqrt{1-x^2}}$
			
			$arctan'(x)=\kr{tan'(arctan(x)}=cos^2(arctan(x))=\kr{1+tan^2(arctan(x))}=\kr{1+x^2}$
			
			\end{quote}\end{Beweis}
		Weitere Funktionen:
		
			\begin{quote}
			$sinh(z)=\frac{e^z-e^{-z}}{2}, cosh(z)=\frac{e^z+e^{-z}}{2}, tanh(z)=\frac{sinh(z)}{cosh(z)}$
			
			$sinh^2(z)-cosh^2(z)=1$
			\end{quote}
		\end{quote}
	\end{quote}
\section{Integration}
	\begin{quote}
	\subsection{Definition}
		\begin{quote}\parpic(4cm,2cm)(1.5cm,2cm)[r]{\includegraphics[width=0.25\textwidth]{Maphy_Bilder/15_1.PNG}}
		Zerlegung: $\m{Z}=(t_0,...,t_k)$ von $[a,b]$, $a=t_0<t_1<...<t_k=b$
		
		Hierzu Zwischenvektor (ZV): $\xi=(\xi_1,...,\xi_k), t_{i-1}\leq \xi_i\leq t_i, i=1,...,k.$
		
		Feinheit für $\m{Z}:\Delta(\m{Z}):=max(t_i-t_{i-1}), i=1,...,k$
		
		Für $f:[a,b]\to\R$: Riemannsche Summen $S(\m{Z},\xi,f):=\su{i=1}{k}f(\xi_i)(t_i-t_{i-1})$
		\picskip{0}
		Zerlegungsnullfolgen (ZNF): Folge $(\m{Z}^{(n)})_{n\in\N}$, dazu passende Zwischenvektorfolge (ZVF) $(\xi^{(n)})_{n\in\N}$,
	
		\picskip{0}
		$\forall n\in\N:\xi^n~ZV~zu~\m{Z}^{(n)}$
		\end{quote}
	\subsection{Satz \& Definition}
		\begin{quote}
		\begin{itemize}
			\item[a)]
				Für $f\in C^0([a,b],\R)$ gilt: Für jede ZNF $(\m{Z}^{(n)})$ und jede passende ZVF gilt:
				
				Die Riemannschen Summen $S(\m{Z}^{(n)},\xi^{(n)},f)$ konvergieren für $n\to \infty$ und zwar immer gegen denselben Grenzwert, der mit $\int^b_af(x)dx$ (auch $\int_{[a,b]} f$ oder $\int_a^b f(n)dn$ etc.) bezeichnet wird.
			\item[b)]
				Eine beschr. Fu $f:[a,b]\to\R$ (in Zeichen: $f\in B([a,b],\R$)) $\Leftrightarrow$ Aussage von a) gilt für f (in Zeichen: $f\in R([a,b],\R)$) 
		\end{itemize}\newpage
		\begin{Beweis}Beweis a):
			\begin{quote}
			Idee: Betrachte zunächst Zerlegung in $\m{Z}=(t_0,...,t_k),\tilde{\m{Z}}
			=(\tilde {t_0},...,\tilde{ t_{\tilde{k}}})$ und zugehörige ZV $\xi, \tilde{\xi}$ derart, dass
			$\{t_0,...,t_k\}\subset\{\tilde{t_0},...,\tilde{t_{\tilde{k}}}\}$
			($\tilde{\m{Z}}$ Verfeinerung von $\m{Z}$)
			
			In jedem Intervall $t_{i-1},t_i:f(\xi)\cdot(t_{i-1}-t_i)=\su{[t_{j-1},t_j]}{}f(\xi_i)(\tilde{t}_j-\tilde{t}_{j-1})$ (Beitrag zu $S(\m{Z},\xi,f)$)
			
			Beitrag zu $S(\tilde{\m{Z}},\tilde{\xi},f):\su{\substack{j,[t_{j-1},t_j]\\\subset[t_{i-1},t_i]}}{}f(\tilde{\xi}_i)(\tilde{t}_j-\tilde{t}_{j-1})$
			
			Um beide zu vergleichen, wähle Feinheit $\Delta(\m{Z})<\delta$, wobei zu $\varepsilon>0$, $\delta>0$ so , dass $\forall t,s\in[a,b],|t-s|<\delta:|f(t)-f(s)|<\varepsilon$ (f glm. st)
			
			Ergibt: $|S(\m{Z},\xi,f)-s(\tilde{\m{Z}},\tilde{\xi},f)|\leq \varepsilon \su{j}{}\tilde{t}_j-\tilde{t}_{j-1}=\varepsilon b\cdot a$
			
			Weiter: Für bel. Zerlegungen $\m{Z}, \tilde{\m{Z}}$: Gemeinsame Verfeinerung $\hat{\m{Z}}$, dazu ZV $\hat{\xi}$, $S(\m{Z},...)\stackrel{\varepsilon}{\leftrightarrow}S(\tilde{\m{Z}},...)\stackrel{\varepsilon/2}{\leftrightarrow}S(\hat{\m{Z}},...)\stackrel{\varepsilon/2}{\leftrightarrow}S(\m{Z},...)$
			
			Schließlich: Falls $(\m{Z}_1^{(n)})$ und $(\m{Z}_2^{(n)})$ ZNF, $(\xi_1^{(n)})$ und $(\xi_2^{(n)})$ passende ZVF, so def. $\m{Z}^{(n)}:=\begin{cases}\m{Z}_1^{(n)}&n~gerade\\\m{Z}_2^{(n)}&n~ungerade\\\end{cases}$
			
			Entspr. ZVen $\xi_n^{(n)}$ (Folgenmischung). Dann auf $(S(\hat{\m{Z}}^{(n)},\hat{xi}^{(n)},f)$ konv.
			
			Es folgt $lim S(\m{Z}_1^{(n)},...)=lim S(\m{Z}_2^{(n)},...)$
			\end{quote}\end{Beweis}
		\end{quote}
	\subsection{Bemerkung}
		\begin{quote}
		\begin{itemize}
			\item[a)]\parpic(4cm,1cm)(2cm,2cm)[r]{\includegraphics[width=0.25\textwidth]{Maphy_Bilder/15_3.PNG}}Falls $f:[a,b]\to\R$ stückweise stetig, d.h. Es ex. Zuerlegung $a=t_0<t_1<...<t_k=b$ von $[a,b]$ so dass $f|_{(t_{i-1},t_i)}$ stetig und $\lim\limits_{\substack{t\to t_{i-1}\\t>t_{i-1}}}f(t)$ und $\lim\limits_{\substack{t\to t_{i-1}\\t<t_{i-1}}}f(t)$ ex., $i=1,...,k$.			\newline
			Dann $f\in R([a,b],\R)$ und $\int_a^b f(t)dt=\su{i=1}{k}\int_{t_{i-1}}^{t_i} f(t)dt$ (gemeint: $\int_{t_{i-1}}^{t_i}\tilde{f}_i(t)dt$, $\tilde{f}_i$ st. Forts. von $f|_{(t_{i-1},t_i)}$ in die Randpunkte
			\item[b)]
				Für Komplexwertige Funktionen $f:[a,b]\to\C$, $f=u+iv$; $u,v:[a,b]\to\R$ def. man:\newline
				$\int_a^b f(x)dx=\int_a^b u(x)dx+i\int_a^b v(x)dx$, falls diese Integrale ex.\picskip{0}
							\item[c)]
				Uneigentliche Integrale, z.B. $\int_{-\infty}^\infty f(x)dx:=\lim\limits_{\substack{b\to\infty\\a\to-\infty}}\int_a^b f(x)dx$, falls diese Integrale und die limites ex.				\newline
				entspr. $\int_0^\infty f(x)dx$ oder $\int_{-\infty}^0 f(x)dx$				\newline
				Weiter: Falls z.B. f auf (0,1] def., so $\int_0^1f(x)dx:=\lim\limits_{\delta\to 0}\int_\delta^1 f(x)dx$, dalls diese Integrale und der limes ex.
		\end{itemize}
		Beispiel:
			\begin{quote}
			Für $\delta>0$ ex. $\int_\delta^1\frac{dx}{\sqrt{x}}$ ($=2\sqrt{1}-2\sqrt{\delta}$), Also hat limes 2 für $\delta\to 0$, also $\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x}}=2$.
			\end{quote}
		\end{quote}
	\subsection{Eigenschaften des Integrals}
		\begin{quote}
		\begin{itemize}
			\item[a)]$\int f+\lambda g=\int f+ \lambda\int g$ (Linearität)
			\item[b)]$f\leq g\Rightarrow \int f\leq \int g$  (Monotonie)
			\item[c)]$|\int f|\leq \int|f|$ (Dreiecksungleichung)
			\item[d)]$\int_a^b f(x)dx=\int_a^cf(x)dx + \int_c^b f(x)dx$ (falls $c\in[a,b]$, auch für bel. c, wenn man im Fall $\int_a^cf(x)dx=-\int_c^a f(x)dx$ setzt)
		\end{itemize}
		(Alles, falls Integrale ex.)
		
		a), c), d) auch für komplexwertige Funktionen.
		
		\begin{Beweis}Beweis:
			\begin{quote}
			Idee: Riemannsche Summen, Grenzübergang.
			\end{quote}\end{Beweis}
		\end{quote}
	\subsection{Definition}
		\begin{quote}
		Sei $f:I\to\R$ (I Intervall), $F:I\to\R$ heißt Stammfunktion zu f, falls $F'$ ex. und $F'=f$.
		
		Bemerkung:
			\begin{quote}
			Wenn F,G Stammfu'n zu f auf I, 
			
			so ex. Konstante c mit $G(x)=F(x)+c \forall x\in I$
			\end{quote}
		\begin{Beweis}Beweis:
			\begin{quote}
			$(F-G)'=f-f=0$ auf I. Mit Mittelwertsatz folgt: $F-G$ konstant.
			\end{quote}\end{Beweis}
		\end{quote}
	\subsection{Hauptsatz der Differential- \& Integralrechnung (HDI)}
		\begin{quote}
		Sei f aus $C^0([a,b],\R)$ und $F:[a,b]\to\R$, $F(x):=\int_0^xf(t)dt$.
		
		Dann ist F Stammfunktion zu f und für jede Stammf. $G:[a,b]\to\R$ zu f gilt: $\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)=G(b)-G(a)$ (Schreibweise $[G(x)]_a^b$)
		
		\begin{Beweis}Beweis:
			\begin{quote}\parpic(2.5cm,1cm)(1.9cm,1.3cm)[r]{\includegraphics[width=0.2\textwidth]{Maphy_Bilder/15_6.PNG}}
			Sei $x_0\in[a,b]$ und $\varepsilon>0$ ($|F(x)-F(x_0)-f(x_0)(x-x_0)|<\varepsilon|x-x_0|$)			\newline
			Da f stetig bei $x_0$ ex. $\delta>0$ mit $\forall x \in [a,b]$, $|x-x_0|<\delta:|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$. \newline
			Für solche x ist $|F(x)-F(x_0)-f(x_0)(x-x_0)|=|\int_0^x f(t)dt-\int_0^{x_0}f(t)dt-f(x_0)(x-x_0)|=|\int_{x_0}^xf(t)dt-\int_{x_0}^xf(x_0)dt|=|\int_{x_0}^xf(t)-f(x_0)dt|\leq |\int_{x_0}^x|f(t)-f(x_0)|dt|\leq |\int_{x_0}^x \varepsilon dt|=\varepsilon|x-x_0|$.			\newline
			Also: $F'(x_0) ex. = f(x_0)$. Weiter: $\int_a^b f(t)dt = F(b)-\underbrace{F(a)}_{=0}=G(b)-G(a)$ (Für jede andere Stammfunktion)			
			\end{quote}\end{Beweis}
		\begin{Beweis}Physikalischer "`Beweis"':
			\begin{quote}
			$dF=f(x_0)dx+\Delta$ (ignoriert)$\Rightarrow \frac{dF}{dx}=f(x_0)$. 			\newline
			Genauer: $\Delta F=\Delta x\cdot f(x_0)+\Delta$ (Klein gegenüber $\Delta x$ im Sinne von $\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta}{\Delta x}=0 \Rightarrow \frac{\Delta F}{\Delta x}=f(x_0)+\underbrace{\Delta x}_{\Delta x\to 0}$
			\end{quote}\end{Beweis}
		\end{quote}
	\subsection{Weitere Integrationsregeln}
		\begin{quote}
		\begin{itemize}
		\item[a)]
			Sei $f \in\C^0([a,b],\R), g\in C^1([a,b],\R)$ und $F:[a,b]\to\R$ Stammfunktion zu f.
		
			Dann $\int_a^bf(x)g(x)dx=[F(x)g(x)]_a^b-\int_a^bF(x)g'(x)dx$ (Partielle Integration)
		\item[b)]
			Sei $f:[a,b]\to\R$ stetig, $\varphi:[c,d]\to[a,b]$ st. diffbar.
			
			Dann ist $\int_c^df(\varphi(u))\varphi(u)=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(x)dx$ (Substitution)
			
			Formal: $x=\varphi(u), dx=\varphi'(u)du$ 
		\end{itemize}
		\begin{Beweis}Beweis:
		\begin{quote}
		\begin{itemize}
		\item[a)]
			$(Fg)'=fg++Fg'$, Integration über $[a,b]$ ergibt $[Fg]_a^b=\int_a^bfg+\int_a^b Fg'$
			
			Daraus folgt Behauptung.
		\item[b)]
			$(F\circ \varphi)'(u)=f(\varphi(u))\cdot \varphi'(u) (u\in[c,d])$.
			
			Integration über $[c,d]: [F\circ\varphi]_c^d=\int_c^d f(\varphi(u))\cdot \varphi'(u)du$
			
			$[F\circ\varphi]_c^d=F(\varphi(d))-F(\varphi(c))=[F]_{\varphi(c)}^{\varphi(d)}=\int_{\varphi(c)}^{\varphi(d)}f(x)dx$
		\end{itemize}
		\end{quote}
		\end{Beweis}
		Bemerkung:
			\begin{quote}
			Falls $u,v$ in $C^1([a,b],\R)$ und $[u\cdot v]_a^b=0$ (z.B. falls $u(a)=u(b)=0$), so ist $\int_a^bu'(x)v(x)dx=\underbrace{[u(x)v(x)]_a^b}_{0}-\int_a^bu(x)v'(x)dx$, 
			
			also $\int_a^b u'(x)v(x)dx=-\int_a^bu(x)v'(x)dx$
			
			(Überwälzen der Differentiation gibt Minuszeichen)
			\end{quote}
		\end{quote}
	\subsection{Satz: Vertauschung Integral und limes}
		\begin{quote}
		Sei $f_n\in C^0([a,b],\R)$, $f\in C^0([a,b],\R)$, $f_n\to f$ glm auf $[a,b]$, dann $\int_a^b f_n(x)dx\to \int_a^b(x)dx$
		
		Dann nach Weierstraß $f\in C^0([a,b],\R)$.
		
		\begin{Beweis}Beweis:
		\begin{quote}
		zu $\varepsilon>0$ existiert ein $N\in\N:\forall n\geq N\forall x\in[a,b]:|f_n(x)-f(x)|\leq \varepsilon$
		
		Für $n\geq N:|\int_a^bf_n(x)dx-\int_a^bf(x)dx|\leq\int_a^b\underbrace{|f_n(x)-f(x)|}_{\leq\frac{\varepsilon}{b-a}}dx\leq \varepsilon$
		\end{quote}\end{Beweis}
		\end{quote}
	\subsection{Folgerung}
		\begin{quote}
		$f_n\in C^1([a,b],\R)$, $f_n\to f$ glm auf $[a,b]$. Weiter $f_n'$ konv. glm auf $[a,b]$ gegen $\varphi:[a,b]\to \R$ (Dann $\varphi$ stetig nach Weierstraß).
		
		Dann auch $f\in C^1([a,b],\R)$, $f'=\varphi$ ($=\lim\limits_{n\to\infty} f_n'$)
		
		\begin{Beweis}Beweis:
			\begin{quote}
			$f_n(x)=f_n(a)+\int_a^xf_n'(t)dt\Rightarrow f(x)=f(a)+\int_a^x\varphi(t)dt$ (15.8)
			
			mit HDI: f diffbar, $f'(x)=\varphi(x)$
			\end{quote}\end{Beweis}
		\end{quote}
	\end{quote}
\end{document}