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\documentclass[headsepline]{scrartcl} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[ngerman]{babel} %\usepackage{tabularx} %\usepackage{multirow} \usepackage[rflt]{floatflt} \usepackage{float} \usepackage{cancel} \usepackage{PicIns} \usepackage{geometry} \usepackage[pdftex,colorlinks,linkcolor=black]{hyperref} \usepackage{lastpage} \usepackage{graphicx} \usepackage[automark]{scrpage2} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{stmaryrd} \usepackage{color} \usepackage{framed} \definecolor{shadecolor}{rgb}{0.9,1,0.9}%hellblau \newenvironment{Beweis}{\begin{shaded}}{\end{shaded}} \pagestyle{scrheadings} \ifoot{} \cfoot{} \ofoot{} \ihead{\headmark} \chead{~~~~~~~~~~~~~~~~~~Mathematik für Physiker} \ohead[\pagemark]{\pagemark~~-~~\pageref{LastPage}} \geometry{a4paper,left=20mm,right=15mm, top=15mm, bottom=25mm} \fontsize{10}{16}\selectfont %\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1}} %\newcolumntype{x}{>{\centering\arraybackslash}X} %\newcolumntype{L}[1]{>{\raggedleft\arraybackslash}p{#1}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} %\newcommand{\pfun}{\mathrel{\ooalign{\hfil$\mapsto char\mkern5mu$\hfil\cr$\to$}}} \newcommand{\abb}[2]{\ensuremath \renewcommand{\arraystretch}{0.5} \arraycolsep 0pt \begin{array}[t]{c}#1\\#2\end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1}} \newcommand{\abbn}[4]{\ensuremath \renewcommand{\arraystretch}{0.5} \arraycolsep 0pt \begin{array}[t]{c}\text{#3$#1$\normalsize} \\ \text{#4$#2$\normalsize}\end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1}} \newcommand{\vr}[3]{\ensuremath{\left(\begin{array}{c}#1\\#2\\#3\end{array}\right)}} \newcommand{\kr}[1]{\ensuremath{\frac{1}{#1}}} \newcommand{\ub}[2]{\ensuremath{\arraycolsep 0pt \left(\begin{array}{c}#1\\#2\end{array}\right)}} \newcommand{\cas}[4]{\ensuremath{\left\{\begin{array}{ll}#1\\#3\end{array}\right.}} \newcommand{\pmd}{\ensuremath \renewcommand{\arraystretch}{0.1} \arraycolsep 0pt \begin{array}[t]{c}\pm \\ \cdot\end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1}} \renewcommand{\limsup}{\overline{\lim}} \renewcommand{\liminf}{\underline{\lim}} \newcommand{\abg}[2]{\ensuremath{\abbn{\longrightarrow}{#1\mapsto #2}{\normalsize}{\footnotesize}}} \newcommand{\su}[3]{\ensuremath{\sum\limits_{#1}^{#2} #3}} \newcommand{\m}[1]{\mathcal{#1}} \newtheorem{test}{Beispiel}[subsection] \begin{document} \pagenumbering{Roman} \begin{center} \Huge Mathematik für Physiker \Large Analysis I \small Skript zur Vorlesung von Prof. Dr. Lani-Wayda \renewcommand{\baselinestretch}{0.6} \tiny Mitgeschrieben und gete$\chi$t von Julian Bergmann\normalsize \renewcommand{\baselinestretch}{1} \end{center} \tableofcontents \newpage \pagenumbering{arabic} \section{Mengen \& Aussagen} \begin{quote} \begin{quote} Def: \begin{quote} Zusammenfassung von Objekten zu Mengen: \begin{quote} $M=\{1,2,3\}$ $S=\{x|x$ ist nat. Zahl, $x>5\} = \{y\in\N |y>5 \}$ \end{quote} Objekte einer Menge sind dessen Elemente. Beispiele: $2\in M$, $7\in S$, $5\notin S$ Technisches Hilfmittel: Leere Menge $\emptyset$ \end{quote} \end{quote} \subsection{Mengenbeziehungen/-operationen} \begin{quote} \begin{center} \begin{tabular}{|l|p{11cm}|} \hline $A\subseteq B$ & \bfseries Inklusion;\normalfont \emph{A ist Teilmenge von B, B Obermenge von A.} \emph{Jedes Element von A ist auch Element von B. Auch $A\subset B$}\\ \hline $A\subset B$ & \bfseries Strikte Inklusion;\normalfont \emph{A ist Teilmenge von B aber $A \neq B$. Auch $A\abb{\subset}{\neq} B$}\\ \hline $A\cap B$ & \bfseries Durchschnitt, gelesen A Durchschnitt B;\normalfont $=\{x|x\in A$ und $x\in B\}$\\ \hline $A\cup B$ & \bfseries Vereinigung, gelesen A vereinigt B;\normalfont $=\{x|x\in A$ oder $x\in B\}$\\ \hline $A\setminus B$ & \bfseries Differenz, gelesen A minus/ohne B;\normalfont $=\{x|x\in A$ und $x\in B\}$\\ \hline $\complement A$ oder $A^C$ & \bfseries Komlement, gelesen Komplement von A;\normalfont \emph{Normalerweise auf eine Obermenge X bezogen $\complement _X A = X\setminus A$}\\ \hline $A \cap B= \emptyset$ & \emph{A und B haben kein gemeinsames Element}\\ \hline \end{tabular} \end{center} % \begin{floatingfigure}[l]{28cm} % \centering % \includegraphics{Maphy_Bilder/1_1_1.PNG}\hspace{1cm} % \includegraphics{Maphy_Bilder/1_1_2.PNG} % \end{floatingfigure} \parpic(5cm,4cm)(1cm,2.3cm)[r]{\includegraphics{Maphy_Bilder/1_1_1.PNG}\includegraphics{Maphy_Bilder/1_1_2.PNG}} Bei einer Potenzmenge $P(A)=\{B|B\subset A\}$ gilt stets: \begin{quote} $\emptyset \subset A$, also $\emptyset \in P(A)$ und $A \in P(A)$ \end{quote} \end{quote} \subsection{Mathematische Aussagen} \begin{quote} Def: \begin{quote} Aussagen, denen sich "`vernünftig"' ein Wahrheitswert "`w"' oder "`f"' zuordnen lässt (auch, wenn dieser nicht bekannt ist). Beispiele: "`10 ist Primzahl"', "`$3>1$"' \end{quote} Aussagenoperation: Negation $\neg$; Verknüpfung "`Und"' $\wedge$, "`Oder"' $\vee$ Wahrheitstabellen: Seien a, b Aussagen. \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline a&b&$\neg a$&$\neg b$&$a\wedge b$&$a\vee b$&$\neg a\vee b$&$a\Leftrightarrow b$\\ \hline w&w&f&f&w&w&w&w\\ \hline w&f&f&w&f&w&f&f\\ \hline f&w&w&f&f&w&w&f\\ \hline f&f&w&w&f&f&w&w\\ \hline \end{tabular} \end{center} \begin{center} \begin{tabular}{l|l} Implikation: $a\Rightarrow b$ &Äquivalenz: $a\Leftrightarrow b$\\ definiert als $\neg a \vee b$ &definiert als $(a\Rightarrow b)\wedge (b\Rightarrow a)$\\ \end{tabular} \end{center} \end{quote} \subsection{Rechenregeln} \begin{quote} Definition: \begin{quote} Schlussregeln sind Aussagen, die stets den Wert "`w"' haben Seien a, b, c Aussagen; A, B, C, X Mengen; $(A\cup B\cup C)\subset X$. \end{quote} \begin{center} \begin{tabular}{|p{3cm}|l|l|} \hline 1. Assoziativität&$(a\vee b)\vee c \Leftrightarrow a\vee (b\vee c)$&$(A\cup B)\cup C\Leftrightarrow A\cup (B\cup C)$\\ &$(a\wedge b)\wedge c \Leftrightarrow a\wedge (b\wedge c)$&$(A\cap B)\cap C\Leftrightarrow A\cap (B\cap C)$\\ \hline 2. Distributivität&$a\wedge (b\vee c) \Leftrightarrow (a \wedge b)\vee (a\wedge c)$&$A\cap (B\cup C) \Leftrightarrow (A \cap B)\cup (A\cap C)$\\ &$a\vee (b\wedge c) \Leftrightarrow (a \vee b)\wedge (a\vee c)$&$A\cup (B\cap C) \Leftrightarrow (A \cup B)\cap (A\cup C)$\\ \hline 3. de Morgan-&$\neg (a\vee b)\Leftrightarrow \neg a \wedge \neg b$&$X\setminus (A\vee B) \Leftrightarrow (X\setminus A)\wedge (X\setminus B)$\\ sche Komplemen&$\neg (a\wedge b)\Leftrightarrow \neg a \vee \neg b$&$X\setminus (A\vee B) \Leftrightarrow (X\setminus A)\wedge (X\setminus B)$\\ tierungsregel&&$(A\cup B)^\complement \Leftrightarrow A^\complement \cap B^\complement$ \\ &&$(A\cap B)^\complement \Leftrightarrow A^\complement \cup B^\complement$ \\ \hline 4. Kontraposition&$(a\Rightarrow b)\Leftrightarrow (\neg b\Rightarrow \neg a)$&Falls $A \subseteq B$, so ($X\setminus B)\subseteq (X\setminus A))$\\ &&bzw. $B^\complement \subseteq A^\complement$\\ \hline \end{tabular} \parskip 12pt Exemplarischer Beweis für 4.: \parskip 6pt \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} \hline a&b& $\neg a$ & $\neg b$ & $a\Rightarrow b$ & $\neg b \Rightarrow \neg a$\\ \hline F&F&W&W&W&W\\ \hline F&W&W&F&W&W\\ \hline W&F&F&W&F&F\\ \hline W&W&F&F&W&W\\ \hline \end{tabular} \end{center} Schreibabkürzungen: \begin{quote} Für Alle: $\forall$ Es existiert: $\exists$ Es existiert genau ein $\exists_1$ \parskip 12pt Bsp.: \parskip 6pt \begin{quote} 1. Falls $M\subseteq N$, so ist die Aussage $\forall x\in M: x\in N$ wahr. 2. Die Aussage $\forall x \in \{1,2,3\}\exists y\in\{1,2,3\}:y>x$ ist falsch. \end{quote} \parskip 12pt Hinweis:\parskip 6pt \begin{quote} Manchmal auch "`Nachstellung"' des Gültigkeitsbereiches: Beispiel: $x^2 \leq \frac{1}{4} (|x|\leq \frac{1}{2})$ \end{quote} \end{quote} \end{quote} \end{quote} \newpage \section{Relation \& Funktionen} \begin{quote} \subsection{Definition} \begin{quote}\parpic(5cm,4cm)(3cm,4cm)[r]{\includegraphics[width=4cm, height=3.4cm]{Maphy_Bilder/2_1.PNG}} \begin{enumerate} \item Für Objekte a,b ist das geordnete Paar (a,b) definiert durch: $(a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}$ \item Für Mengen M, N ist das Produkt definiert durch: $M\times N:=\{(a,b)|a\in M, b\in N\}$ \item Eine Relation zwischen M und N ist eine Teilmenge $R\subseteq M\times N$. Statt "`$(a,b)\in R$"' schreibt man "`aRb"'. Beispiele: $a\leq b$, $a>b$, etc. \item Eine Relation zwischen M und N heißt Funktion (Abbildung) von M nach N falls gilt: $\forall x\in M \exists_1 y\in N:(x,y)\in R$ oder xRy. Schreibweise: \begin{quote} $f:\abb{M\to N}{x\mapsto f(x)}$, Beispiel: $f:\abb{\N\to \N}{x\mapsto x^2}$ oder $f(x)=x^2$ \end{quote} \end{enumerate} \end{quote} \subsection{Bemerkung: Funktion} \begin{quote} Zur Beschreibung einer Funktion sind 3 Dinge nötig: \begin{itemize} \item[1.]Definitionsbereich \item[2.]Wertebereich \item[3.]Zuordnungsvorschrift \end{itemize} z.B. sind die Funktionen $f:\{1,2,3\}\to\N$, $g:\{1,2,3,4\}\to\N$ und $h:\{1,2,3\}\to\{2,3,4\}$ mit $f(x)=x+1$, $g(x)=x+1$ und $h(x)=x+1$ alle verschieden. \end{quote} \subsection{Definition: Bild} \begin{quote} Seien A, B Mengen, $f:A\to B$ Funktion \begin{itemize} \item[1.]Sei $A'\subseteq A$. Das \emph{Bild} von $A'$ unter $f$ ist $f(A')=\{y|\exists x\in A',y=f(x)\}=\{f(x)|x\in A'\}$ \item[2.]Sei $A'\subseteq A\subseteq A''$ und $B'$ Menge. Die \emph{Einschränkung} von f auf $A'$ ist die Funktion $f|_{A'}:A'\to B$ Eine Funktion $g:A''\to B'$ heißt \emph{Fortsetzung} von f, falls gilt: $\forall x\in A:g(x)=f(x)$ \item[3.]Für eine beliebige Menge C ist das \emph{Urbild} von C definiert durch $f^{-1}(C):=\{x\in A|f(x)\in C\}$ \end{itemize} \end{quote}\newpage \subsection{Definition: Komposition} \begin{quote} \parpic(3cm,2cm)[r]{\includegraphics[width=3cm, height=1.5cm]{Maphy_Bilder/2_4.PNG}}Seien $f:A\to B$, $g:B'\to C$ Funktionen und $B\subseteq B'$. Dann ist die \emph{Komposition} (Hintereinanderausführung) $g\circ f$ definiert durch: $g \circ f:A\to C$, $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ \end{quote} \subsection{Definition: Bijektiv} \begin{quote}\parpic(5cm,4cm)(4cm,7.5cm)[r]{\includegraphics[width=0.2\textwidth]{Maphy_Bilder/2_5.PNG}} Eine Funktion $f:A\to B$ heißt: \begin{quote} \begin{quote} \begin{itemize} \item[\emph{injektiv}], falls gilt: $\forall x,y\in A:\{f(x)=f(y)\Rightarrow x=y\}$. \item[\emph{surjektiv}], falls gilt: $\forall y \in B \exists x \in A:f(x)=y$ (Gleichbedeutend: f(A)=B). \item[\emph{bijektiv}], falls f surjektiv und injektiv. \end{itemize} \end{quote} \end{quote} Beispiele: \begin{quote} $f:\abb{\{1,2\}\to\{1,2,3\}}{x \mapsto x+1}$ ist injektiv, nicht surjektv. $g:\abb{\{1,2\}\to\{2,3\}}{x \mapsto x+1}$ ist bijektv. \end{quote} Falls $f:A\to B$ bijektiv, so existiert die \emph{inverse Funktion (Umkehrfunktion)} $f^{-1}:B\to A$, die jedem $y \in B$ das eindeutige $x\in A$ mit $f(x)=y$ zuordnet. Es gilt: \begin{quote} $f(f^{-1}(y))=y (y\in B)$ $f^{-1}(f(x))=x (x\in A)$ \end{quote} \end{quote} \subsection{Definition: Relation} \begin{quote} Sei R Relation in der Menge M (also $R\subseteq M\times M$). \begin{quote} \begin{itemize} \item[a)] R heißt \emph{Äquivalenzrelation} (auf M), falls folgende Eigenschaften für alle $x,y,z \in M$ erfüllt sind: \begin{quote} \begin{itemize} \item[1)]$xRx$ (\emph{Reflexivität}) \item[2)]$xRy\Rightarrow yRx$ (\emph{Symmetrik}) \item[3)] $xRy \mbox{ und } yRz\Rightarrow xRz$ (\emph{Transitivität}) \end{itemize} \end{quote} Häufig benutze Symbole: "`="', "`$\approx$"', "`$\sim$"' Für $x\in M$ ist die Äquivalenzmasse von x (bzgl. R) definiert als $\{y\in R|yRx\}$ \item[b)] R heißt \emph{Ordnung} auf M (M durch R geordnet), falls für alle $x,y,z \in M$ folgende Eigenschaften gelten: \begin{quote} \begin{itemize} \item[1)]$xRx$ (Reflexivität) \item[2)] $(xRy) \wedge (yRx)\Rightarrow x=y$ (\emph{Antisymmetrik}) \item[3)] $xRy \mbox{ und } yRz\Rightarrow xRz$ (Transitivität) \end{itemize} \end{quote} Häufig benutze Symbole: "`$\leq$"', "`$\prec$"', "`$\subseteq$"' \item[c)] Eine Ordnung $\prec$ auf M heißt \emph{Totalordnung}, falls gilt: $\forall x,y\in M:((x\prec y)\vee(y\prec x))$ \end{itemize} \end{quote}\newpage Beispiele: \begin{quote} \begin{itemize} \item["`="'] bei Zahlen (\emph{Äquivalenzreation}), \item["`$\leq$"'] bei Zahlen (\emph{Ordnungsrelation}), \item["`$\subset$"'] bei Mengen (\emph{Ordnungsrelation}). \end{itemize} \end{quote} \end{quote} \subsection{Bemerkung: Partition} \begin{quote} Sei $\sim$ eine \emph{Äquivalenzrelation} auf der Menge M. Dann bilden die \emph{Äquivalenzklassen} bezüglich $\sim$ eine \emph{Partition}, d.h. Zerlegung von M in paarweise disjunkte Teilmengen. D.h. $A\cap B=\emptyset$ für verschiedene Äquivalenzklassen $A, B$. \end{quote} \subsection{Definition/Bemerkung: sup/inf \& min/max} \begin{quote} Sei $\leq$ eine Ordnung auf der Menge M (M durch $\leq$ geordnet). Sei $A\subseteq M$. \begin{quote} \begin{itemize} \item[1)] A heißt nach oben (unten) beschränkt, falls ein $s\in M$ existiert mit $\forall a\in A:a\leq s ~(a \geq s)$. s heißt dann \emph{obere (untere) Schranke} für A. \item[2)] $s\in M$ heißt \emph{Supremum} von A, falls s eine \emph{kleinste obere Schranke} für A ist, d.h.: \begin{quote} \begin{itemize} \item[1)]s ist obere Schranke \item[2)]falls S obere Schranke für A, dann $s\leq S$ \end{itemize} \end{quote} Analog heißt s \emph{Infimum} von A, falls s eine \emph{größte untere Schranke} für A ist, d.h.: \begin{quote} \begin{itemize} \item[1)]s ist untere Schranke \item[2)]falls S untere Schranke für A, dann $s\geq S$ \end{itemize} \end{quote} Falls Supremum/Infimum von A existiert, so ist dies eindeutig. Man schreibt dann $s=sup(A)$ bzw. $s=inf(A)$ \item[3)] $a\in A$ heißt maximales (minimales) Element von A, falls gilt: $\forall x\in A:x\leq a~(x\geq a)$ Notation: $a=max(A)$; $a=min(A)$ \end{itemize} \end{quote} Bemerkung: Im Allgemeinen existiert weder sup/inf, noch min/max. \begin{Beweis} Beweis der Eindeutigkeit von sup/inf: \begin{quote} Seien s, $s'$ Suprema von A. Da $s'\circ s$ für A, gilt nach 2): $s\leq s'$, ebenso $s'\leq s$ Mit Antisymmetrie von "`$\leq$"': $s=s'$ Analog für inf. \end{quote} \end{Beweis} \end{quote} \subsection{Zornsches Lemma} \begin{quote} Sei M eine Menge und $\leq$ Ordnung auf M derart, dass gilt: jede totalgeordnete Teilmenge $N\subset M$ hat eine obere Schranke in M. Dann gilt: Die ganze Menge M hat ein maximales Element. \end{quote} \newpage \subsection{Auswahlaxiom} \begin{quote} Sei I eine beliebige Menge (Indexmenge) und für jedes $i\in I$ sei eine Menge $A_i\neq\emptyset$ gegeben. Dann existiert eine Funktion $F:\left( I\to\stackrel{\bigcup}{i\in I}\right) A_i$ mit der Eigenschaft $\forall i\in I:f(i)\in A_i$ (Selektion eines Wertes f(i) aus der Menge $A_i$). \parskip 24pt Man kann zeigen: Zornsches Lemma und Auswahlaxiom sind äquivalent. \parskip 6pt \end{quote} \end{quote} \section{Reelle Zahlen} \begin{quote} $\N=\{1,2,3,\cdots\}$ natürliche Zahlen. $\mathbb{Z}=\{\cdots,-2,-1,0,1,2,\cdots\}$ ganze Zahlen. $(\mathbb{Z},+,\cdot)$. ist kommutativ und Ring mit Eins. $\Q=\{\frac{p}{q}|p,q\in|\mathbb{Z},q\neq\}$ rationale Zahlen. $(\Q,+,\cdot)$. ist Körper. $\N \subset \mathbb{Z} \subset \Q$ (Aus der Schule bekannt. Konstruktion dieser Zahlenmengen: hier nicht!) $\N$ erfüllt folgende Grundregeln: \subsection{Peano-Axiom} \begin{quote} $\N$ enthält ein Element 1 und es gibt eine injektive Abbildung $\vartheta:\N\to\N\setminus\{1\}$ (Nachfolgerabbildung), so dass gilt: Falls $A\subseteq \N$ und \begin{quote} \begin{itemize} \item[i)]$1\in A$ \item[ii)]Falls $n\in A$, so auch $\vartheta (n)\in A$ \end{itemize} \end{quote} dann $A=\N$ Peano-Axiome sind die Basis für folgenden Prinzipien: \end{quote} \subsection{Induktion \& Rekursion} \begin{quote} \begin{itemize} \item[a)] Beweisprinzip der vollständigen Induktion: Für alle $n \in \N$ sei eine Aussage $a(n)$ gegeben. Falls \begin{quote} \begin{itemize} \item[i)]$a(1)$ wahr, \item[ii)]Falls $a(n)$ wahr für ein $n\in\N$, so auch $a(\vartheta (n))$, \end{itemize} \end{quote} so ist $a(n)$ für alle $n\in \N$ wahr. (Schreibe auch "`n+1"' statt $\vartheta (n)$. Es lässt Addition auf $\N$ definieren.) \item[b)] Rekursionsprinzip: Sei ein Objekt O(1) aus einer Menge M gegeben und für $n\in \N$ sei eine Vorschrift $V_n$ gegeben $(V_1:M\to M)$, die aus einem Objekt $O\in M$ ein neues Objekt macht. Dann definiert die Vorschrift $O(n+1)=V_n(O(n))$ für alle $n\in \N$ ein eindeutiges Objekt $O(n)\in M$. D.h. es existiert genau eine Funktion: $\gamma:\N\to\N$ mit $\tilde{O}(n+1)=V_1(\tilde{O}(n)) (\forall n \in \N)$ \end{itemize} \end{quote} \subsection{Axiomatische Beschreibung der reellen Zahlen} \begin{quote} $\R$ ist eine Erweiterung der rationalen Zahlen, also $\Q\subset\R$ Es gilt: \begin{quote} \begin{itemize} \item[a)] ($\R$, +, $\cdot$) ist Körper (\emph{Körperaxiom}) \item[b)] $\R$ ist angeordneter Körper, d.h \begin{itemize} \item[1)] Es existiert $P\subset R$, sofass für jedes $r\in R$ genau eine der Aussagen \begin{itemize} \item$r\in R$ \item$r=0$ (\emph{neutrales Element}) \item$r\in P$ (\emph{additives inverses Element}) \end{itemize} zutrifft. (\emph{Anordnungsaxiome}) \item[2)]Falls $a,b \in P$, so ist $a+b\in P, a\cdot b\in P$ \end{itemize} \item[c)] Bemerkung: Man definiert für $a,b\in\R: aa$). $a\leq b \left[a\geq b\right] \Leftrightarrow (a=b)\vee (ab\right]$ Dann ist "`$\leq$"' die Totalordnung auf $\R$. \item[d)] $\R$ ist mit "`$\leq$"' vollständig, d.h. Falls $M\subset \R, M \neq \emptyset$ und M nach oben beschränkt, so hat M ein Supremum in $\R$ (vgl. 2.4). (\emph{Vollständigkeitsaxiom}) \end{itemize} \end{quote} Bemerkung: Es gilt auch: Falls $M\subset \R, M\neq \emptyset$, M nach unten beschränkt, so hat M ein Infimum in $\R$. \end{quote} \subsection{Definition} \begin{quote} \begin{itemize} \item[a)]Für $a\in \R$ setze $sgn(a):= \left\{ \begin{array}{l}1, a>0 (a \in P)\\0, a=0\\-1, a<0 (-a\in P) \end{array}\right.$ \item[b)]\emph{Betragsfunktion}: setze $|a|=a\cdot sgn(a)$ \end{itemize} \end{quote} \subsection{Rechenregeln} \begin{quote} \begin{itemize} \item[1)]$|a|=|-a| \geq 0, a=|a|\cdot sgn(a)$ \item[2)]$|a|=0\Leftrightarrow a=0$ \item[3)]$|a\cdot b|=|a|\cdot |b|, sgn(a\cdot b)=sgn(a)\cdot sgn(b)$ \item[4)]$|a^-1|=|a|^-1$, falls $a\neq 0$ (\emph{Multiplikations Inverses}) \item[5)]$a\leq b \Rightarrow a+c \leq b+c$ $a\leq b \Leftrightarrow -a\geq -b$ $a\leq b \Leftrightarrow ca\leq cb$ Falls $c>0$, sonst $ca\geq cb$ \item[6)]$|a|-|b|\leq|a\pm b|\leq |a|+|b|$ (\emph{Dreiecksungleichung}) \end{itemize} \emph{Bemerkung} \begin{quote} $1\in P$. Beweis. 1F (in jedem Körper):$(0\cdot1=0; 1\cdot1=1)$ \emph{Behauptung}: $(-1)\cdot(-1)=1$ \emph{Bemerkung}: $(-1)\cdot(-1)-1=(-1)\cdot(-1+1)=0\leftarrow a\cdot 0=0$ absorbierendes Element \end{quote} Wäre $(-1)\in P$ so $(-1)(-1)\in P$, also $1 \in P$ (Widerspruch zu 3.3.b.1) Mit 3.3.b.1 folgt: $1\in P$ \begin{Beweis}Beweis 3.5.1: \begin{quote} $|a|=a\cdot sgn(a); |-a|=-a\cdot sgn(a)=-a\cdot-1\cdot sgn(a)=a\cdot sgn(a)$ $|a|> 0$, falls $a \in P (a=0)$, so $|a|=a\cdot sgn(a)=a\cdot 1 = a > 0$ analog $a<0$. falls $a=0$, so $|a|=0$. \end{quote} \end{Beweis} \begin{Beweis} Beweis zu ii-v: Ähnlich leicht/trivial.\end{Beweis} \begin{Beweis} Beweis zu vi: siehe Übung.\end{Beweis} \end{quote} \subsection{Satz von Archimedes} \begin{quote} $\N\subset \R$ ist nicht nach oben beschränkt, d.h. $\forall r \in \R \exists n\in \R: n>r$ \emph{Bemerkung}: \begin{quote} Annahme, $\N$ sei nicht nach oben beschränkt in $\R$. Dann existiert (Vollständigkeit) $s:=sup(\N)\in \R$. Es ist $ss-1$. Dann auch $n+1\in \N$ und $n+1>s$. Widerspruch dass s kleinste obere Schranke für $\N$ ist. \emph{Daraus folgt}: $\N$ ist nicht nach oben beschränkt. \end{quote} \end{quote} \subsection{Definition: Intervalle} \begin{quote} Seien $a,b \in \R, a\leq b$ \begin{quote} $(a,b):=\{x\in \R|aa\}$ $[a,\infty):=\{x\in \R|x\geq a\}$ $(-\infty, a), (-\inf, a]$ entsprechend. $\R^+:=(0,a)$, $\R^+_0:=[0,a)$, entsprechend $\R^-$, $\R^-_0$ \end{quote} \end{quote} \subsection{Endlichkeit auf Abzählbarkeit} \begin{quote} \begin{itemize} \item[a)] Eine Menge heißt endlich, falls $M=\emptyset$ (Dann hat M 0 Elemente) oder falls $n\in \N$ und eine bijektive Abbildung $\{1,...,n\}\to M$ existiert. Dann hat M n Elemente. (In Zeichen: $cord(M)=n$ oder $\#M=n$) \item[b)]M heißt unendlich, falls M nicht endlich. \item[c)]M heißt abzählbar, falls eine surjektive Abbildung $\varphi:\N\to\N$ existiert. \item[d)]M heißt abzählbar unendlich, falls abzählbar und unendlich. \item[e)]M heißt überabzählbar, falls M nicht abzählbar. \end{itemize} Bemerkung: \begin{quote} n aus a) ist, falls es existiert, eindeutig. \end{quote} \end{quote} \subsection{Satz: Unterschiede \texorpdfstring{$\R,\Q$}{Reelle und Rationale Zahlen}} \begin{quote} \begin{itemize} \item[a)]$\Q$ ist nicht vollständig, $\R$ schon \item[b)]$\Q$ ist abzählbar, $\R$ nicht \end{itemize} \begin{Beweis}Beweis zu a): \begin{quote} Sei $M:=\{a\in \Q|a^2<2\}$. M ist nach oben beschränkt (z.B. durch 2). Sei $s:=sup(\R)$. Annahme $s\in\Q, s^2=2$ : \begin{quote} Annahme falsch: 1. Fall: $s^2>2$ \begin{quote} Für alle $n\in\N (s-\frac{1}{n})^2=s^2-\frac{2s}{n}+\frac{1}{n^2}>s^2-\frac{2s}{n}$. Nach Archimedes existiert $n\in\N$ mit $b>\frac{2s}{s^2-2}$. Für dieses n ist $\frac{2s}{n}<\frac{2s}{\frac{2s}{s^2-2}}=s^2-2$ und $(s-\frac{1}{n})^2>s^2-(s^2-2) = 2$. Es folgt: $s-\frac{1}{n}$ ist obere Schranke für M. Widerspruch zu s kleinste obere Schranke. \end{quote} 2. Fall: $s^2<2$ \begin{quote} Ähnlich wie oben. $\exists n \in \N (s+\frac{1}{n})^2<2$, also $s+\frac{1}{n}\in\N$. Widerspruch zu s obere Schranke für M. \end{quote} \end{quote} Da $s\in\Q$ nach Annahme existiert $p, q \in\N, y\neq 0, s=\frac{p}{q}$, also $\frac{p^2}{q^2}=2$, $p^2=2q^2$ (unmöglich denn Primfaktor 2 steckt links/rechts zu gerader/ungerader Potenz drin). Also: Annahme falsch, $s\in\Q$ Also: M hat kein Supremum in $\Q$, also $\Q$ nicht vollständig. \end{quote}\end{Beweis} \begin{Beweis}Beweis zu b): \begin{quote} \begin{itemize} \item[1)]Ideenskizze: \begin{tabular}[t]{ccccccccc} $\cdots$&$-\frac{1}{3}$&$-\frac{1}{2}$&$-\frac{1}{1}$&$0$&$\frac{1}{1}$&$\frac{1}{2}$&$\frac{1}{3}$&$\cdots$\\ $\cdots$&$-\frac{2}{3}$&$-\frac{2}{2}$&$-\frac{2}{1}$&$0$&$\frac{2}{1}$&$\frac{2}{2}$&$\frac{2}{3}$&$\cdots$\\ $\cdots$&$-\frac{3}{3}$&$-\frac{3}{2}$&$-\frac{3}{1}$&$0$&$\frac{3}{1}$&$\frac{3}{2}$&$\frac{3}{3}$&$\cdots$\\ &$\vdots$&$\vdots$&$\vdots$&$\vdots$&$\vdots$&$\vdots$&$\vdots$& \end{tabular} \item[2)]$\R$ überabzählbar: zeige [0,1] ist überabzählbar Jedes $x\in [0,1]$ hat Dualbruch der Entwicklung x=0,011001100... Zeige: Die Menge F der Folgen von der Form (0,1110010...) ist überabzählbar. (Cantonsches Diagonalverfahren) Annahme: Es existiert die Abzählung $\varphi:\N\to F$ surjektiv, also $F=\{\varphi(1),\varphi(2),\varphi(3),...\}$ Definiere eine Folge $(a_i)_{i\in\N}\leq F$ durch $a_i \left\{ \begin{array}{cc} 1 &\mbox{, falls }\varphi(i)_i=0\\ 0 &\mbox{, falls }\varphi(i)_i=1 \end{array}\right.$ \parpic(5cm,4cm)(4cm,2cm)[r]{\includegraphics{Maphy_Bilder/Canton_Diag.png}} $(a_i)_{i\in\N}\neq\varphi(j) \forall j\in\N$, d.h. $(a_j)$ tritt nicht im Bild von F auf. \emph{Widerspruch} zu $\varphi$ surjektiv! \emph{Also F nicht abzählbar!} \end{itemize} \end{quote} \end{Beweis} \end{quote} \subsection{Bemerkung} \begin{quote} $\R$ ist ein Vektorraum über dem Körper $\R$, auch über $\Q$. Die Betragsfunktion (vgl. 3.5) definiert eine Norm auf $\R$. \end{quote} \subsection{Satz: Existenz/Eindeutigkeit m-ter Wurzeln \texorpdfstring{in $\R$}{im Raum der Reellen Zahlen}} \begin{quote} $\forall a\in\R^+_0\forall m\in\N \exists_1 x\in \R^+_0: x^m=a$ (Notation: $x=\sqrt[m]{a^n}$, auch $x=a^{\frac{n}{m}}$, "`m-te Wurzel"') \begin{Beweis}Beweis: \begin{quote} Sei $a\in \R^+_0, m\in\N$ und $M:=\{y\in\R^+_0 |y^m\leq a\}$. Behauptung: M ist nach oben beschränkt durch 1+a. \begin{Beweis}Beweis: \begin{quote} Falls $a\leq 1$, sonst für $y\in\R$, $y>1+a$: (triviale Induktion) $y^m\geq(1+a)^m\geq1^m$ = $1\geq a$. Falls $a>1$, so ist für $y\in\R>1+a:y^m>(1+a)^m>a^m\geq a$. Sei $x:=sup(M)$. Dann $x>0$, also $x\in\R^+_0$. Falls $x^ma$, so existiert $n \in N$ mit $(x-\frac{1}{n})^m>a$. Widerspruch zu x ist kleinste obere Schranke. \end{quote} \end{Beweis} Also $x^m=a$. \end{quote} \end{Beweis} \emph{Eindeutigkeit:} Falls $\tilde{x}0~\exists q\in \Q:~|q-a|<\varepsilon$ \item[b)]Zahlen in $\R\setminus\Q$ heißen irrationale Zahlen, diese sind auch dicht in $\R$. \end{itemize} \begin{Beweis}Beweis zu 3.12: \begin{quote} Zu a) Sei $a\in\R$. Falls $a\in \Q$, so gilt: $\forall \varepsilon>0:|a-a|=0<\varepsilon$ Sei jetzt $a\in\R\setminus\Q$ und $a>0$. Zu $n\in \N$ sei nun $m(n):=max\{k\in\N_0|\frac{k}{n}\leq a\}$. (wohldefiniert) Dann $\frac{m(n)}{n}\leq a<\frac{m(n)+1}{n}$, also $|a-\frac{m(n)}{n}|<\frac{1}{n}$ . Sei jetzt $\varepsilon >0$. Nach Archimedes existiert $n\in\N, n>\frac{1}{\varepsilon}$, also $\frac{1}{n}<\varepsilon$ . Setze $q:=\frac{m(n)}{n}\in\Q$. Dann $|a-q|<\frac{1}{n}<\varepsilon$. \end{quote}\end{Beweis} \end{quote} \end{quote} \section{Komplexe Zahlen} \begin{quote} In $\Q: x^2=2$ hat keine Lösung, aber in $\R$. In $\R: x^2+1=0$ hat keine Lösung. Historisch: Cardano (16. Jahrh.) in gewissem Sinn "`Geistergrößen"'. Unmystische Erklärung: Gauß, Hamilton (18., 19. Jahrh.). \subsection{Körper der komplexen Zahlen} \begin{quote} \begin{itemize} \item[a)] Sei $\C:=\R^2=\{(a,b)|a,b\in\R\}$. Außer der komponentenweisen Addition/Subtraktion $((a,b)\pm(c,d))=(a\pm c,b\pm d)$ definiert man die Multiplikation komplexer Zahlen durch $(\ast)~~~(a,b)\cdot(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$ Damit wird $(\C,+,\cdot)$ ein Körper. \item[b)] Indem wir $r\in\R$ mit $(r,0)\in\C$ identifizieren, können wir $\R$ als Unterkörper von $\C$ auffassen, also $\R\subset\C$. \item[c)] Mit $i:=(0,1)$ ist $i^2=(0,1)\cdot(0,1)=(-1,0)$ (entspricht -1 in $\R$). Für $(a,b)\in\C$ ist $(a,b)=a\cdot(1,0)+b\cdot(0,1)=a+bi$. Mit dieser Schreibweise ergibt sich $(\ast)$ durch formales Ausmultiplizieren unter Berücksichtigung von $i^2=-1$: $(a+bi)\cdot(c+di)=ac+bdi^2+(bc+ad)i=(ac-bd)+(bc+ad)i$ \item[d)] $a$ heißt \emph{Realteil}, $b$ \emph{Imaginärteil} der komplexen Zahl $a+bi$. In Zeichen: $a=\Re(a+bi); b=\Im(a+bi)$ \end{itemize} \begin{Beweis}Beweis: leicht\end{Beweis} \end{quote} \subsection{Definition/Bemerkung} \begin{quote}\parpic(5cm,4cm)(4cm,4.5cm)[r]{\includegraphics[width=0.15\textwidth]{Maphy_Bilder/4_2.PNG}} \begin{itemize} \item[a)] Für $z=a+bi~\in\C$ sei $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ (setzt reel. Betr.) Es gilt: $|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot|z_2|;~ ||z_1|-|z_2||\leq|z_1+z_2|\leq|z_1|+|z_2|$ für alle $z_1,z_2 \in \C$ \item[b)] Für $z=a+bi$ ist die konjugierte komplexe Zahl $\overline{z}$ definiert durch $\overline{z}=a-bi$. Die \emph{Konjugation} $z\mapsto \overline{z}$ ist vertauschbar mit Grundrechenarten, also: $\overline{z_1\pmd z_2}=\overline{z_1}\pmd\overline{z_2};~\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{z_1}{z_2}$ falls $z_2\neq 0$. Weiter: $|\overline{z}|=|z|$ \end{itemize} \end{quote} \subsection{Geometrische Veranschaulichung der komplexen Multiplikation} \begin{quote} \parpic(5cm,4cm)(3.5cm,2.5cm)[r]{\includegraphics[width=0.2\textwidth]{Maphy_Bilder/4_3.PNG}}Die Multiplikation $\mu_z:\abb{\C\to\C}{w\mapsto z\cdot w}$ mit einer festen komplexen Zahl w ist geometrisch nämlich: \begin{itemize} \item[-]Drehung um den zu $z$ gehörigen Winkel. \item[-]Streckung mit Faktor $|z|$. \end{itemize} \begin{Beweis}Beweis: Später; Hier z.B. kein präziser Winkelbegriff vorhanden\end{Beweis} \end{quote} \end{quote} \section{Induktive Beweise} \begin{quote} \subsection{Rekursive Definitionen (einige)} \begin{quote} \begin{itemize} \item[a)] \emph{Fakultäten}: 0!=1, $(n+1)!=(n+1)\cdot n!$ (Präz. von $n!:=1\cdot2\cdot...\cdot n$) \emph{Binomialkoeffizient}: $\ub{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \left(=\frac{n(n-1)\cdot...\cdot(n-k+1)}{k!}\right)$ ($k,n\in\N_0,~k\in\{0,...,n\}$) \item[b)] \emph{Summen/Produktzeichen}: Für $j\in\N_0$ sei eine Zahl $a_j\in\C$ gegeben. Def. $\su{j=0}{n} a_j$ und $\prod\limits_{j=0}^n a_j$ rekursiv durch $\su{j=0}{0} a_j=a_0, \su{j=0}{n+1} a_j = \left(\su{j=0}{n} a_j\right)+a_{n+1}$ $\prod\limits_{j=0}^0 a_j=a_0, \prod\limits_{j=0}^{n+1} a_j = \left(\prod\limits_{j=0}^n a_j\right)\cdot a_{n+1}$ \item[c)] \emph{Ganzzahlige Potenzen}: Für $a\in\C:~a^0:=1,~a^{n+1}=a\cdot a^n,~ a^{-n}:=(a^n)^{-1}$ falls $a\neq 0, ~n\in\N_0$ \end{itemize} \end{quote} \subsection{Binomialsatz} \begin{quote} Für $a,b\in \C, n\in\N_0$ ist $(a+b)^n=\su{k=0}{n} \ub{n}{k} a^kb^{n-k}$ \begin{Beweis}Beweis n=0: \begin{quote} $(a+b)^0=1$ (links); $\su{k=0}{0} \ub{0}{k}a^0b^0=1$ (rechts) \end{quote}\end{Beweis} \begin{Beweis}Beweis $n\to n+1$: \begin{quote} $(a+b)^{n+1}=(a+b)\cdot(a+b)^n=(a+b)\cdot\su{k=0}{n}\ub{n}{k}a^kb^{n-k}$ $=\su{k=0}{n}\ub{n}{k}a^{k+1}b^{n-k}+\su{k=0}{n}\ub{n}{k}a^kb^{n+1-k}$ $=\su{k=1}{n+1}\ub{n}{k-1}a^kb^{n+1-k}+\su{k=0}{n}\ub{n}{k}a^kb^{n+1-k}$ $=a^{n+1}b^0+\su{k=1}{n}\underbrace{\left(\ub{n}{k-1}+\ub{n}{k}\right)}_{\ub{n+1}{k}}a^kb^{n+1-k}+a^0b^{n+1}$ $=\su{k=1}{n+1}\ub{n+1}{k}a^kb^{n+1-k}$ \end{quote}\end{Beweis} \end{quote} \subsection{Geometrische Summenformel} \begin{quote} Für $n\in\N_0,~a,b\in \C$ gilt: \begin{quote} $b^{n+1}-a^{n+1}=(b-a)\cdot\su{n=0}{n}a^kb^{n-k}$ Beispiel: $b^2-a^2=(b-a)\cdot(b+a)$ \end{quote} Spezialfall: $b:=1,~a:=q$ \begin{quote} $1-q^{n+1}=(1-q)\cdot\su{k=0}{n}q^k$, im Fall $q\neq 1:~\su{k=0}{n}q^k = 1+q+q^2+...+q^n=\frac{1+q^{n+1}}{1-q}$ \end{quote} \begin{Beweis}Beweis: (n=0: trivial) $n\to n+1:$ \begin{quote} $b^{n+2}-a^{n+2}=b\cdot b^{n+1}-a\cdot a^{n+1}$ $=bb^{n+1}-ba^{n+1}+ba^{n+1}-aa^{n+1}$ $=b(b^{n+1}-a^{n+1})-(b-a)a^{n+1}$ $=b(b-a)\cdot\su{k=0}{n} a^kb^{n-k}+(b-a)\cdot 0^{n+1}$ $=(b-a)\left(\su{k=0}{n} a^kb^{n+1-k}+a^{n+1}\right)$ $=\su{k=0}{n+1}a^kb^{n+1-k}$ \end{quote}\end{Beweis} \end{quote} \end{quote} \section{Folgen \& Konvergenz} \begin{quote} \subsection{Definition} \begin{quote} Sei $M\neq\emptyset$ eine Menge. Eine Folge in M ist eine Abbildung $\N\to M$ (auch $\N_0\to M$). Schreibweise: $(a_n)_{n\in\N},(a_n)_{n\in\N_0}$, kurz auch $(a_n)$ (statt $n\mapsto a(n)$). $a_n~(\in M)$ ist das n-te Glied der Folge. Üblicher Missbrauch: "`$(a_n)\subset M$"', korrekt $\{a_n|n\in\N\}\subset M$ . \end{quote} \subsection{Definition: Konvergenz/Grenzwert von Folgen} \begin{quote}\parpic(5cm,4cm)(2cm,2cm)[r]{\includegraphics[width=0.2\textwidth]{Maphy_Bilder/6_2_1.PNG}} \begin{itemize} \item[a)] $(a_n)\subset \C$ heißt \emph{konvergent} gegen den \emph{Grenzwert} $a\in\C$ (in Zeichen: $\abb{a_n\to a_z}{n\to\infty}\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a$), falls gilt: $\forall \varepsilon>0~\exists N\in\N~\forall n\geq N:~|a_n-a|<\varepsilon$ \item[b)] $(a_n)$ heißt konvergent, falls ein $a\in\C$ existiert mit $a_n\to a$, sonst \emph{divergent}. Sprechweise: "`$\abb{a_n\to\infty}{n\to \infty}$"' bedeutet: $\forall R\in\R~\exists N\in\N:~\forall n\geq N:~a_n\geq R$ . \end{itemize} \newpage Genereller Nutzen:\parpic(4cm,4cm)(0.5cm,2cm)[r]{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Maphy_Bilder/6_2_2.PNG}} Vereinfachung komplizierter Ausdrücke, indem man sie für "`große"' n durch den \emph{Limes} für $n\to \infty$ ersetzt. \begin{quote}$a_n=\frac{n^3-2n+5}{4n^3+3n^2+13}\abb{\to}{n\to\infty} \frac{1}{4}$ \end{quote} \end{quote} \subsection{Bemerkung} \begin{quote} Der Grenzwert a in 6.2 ist, falls er existiert, eindeutig bestimmt. \begin{Beweis}Beweis: \begin{quote} Seien $a,b\in\C,~(a_n)\subset \C$ Folge, $a_n\to a,~a_n\to b$. zu $\varepsilon>0$ existiert $N_1\in\N$ mit $\forall n\geq N_1:~|a_n-a|<\varepsilon$. Weiter existiert $N_2\in\N$ mit $\forall n\geq N_2:~|a_n-b|<\varepsilon$. Somit $\forall n>max\{N_1,N_2\}:~|a_n-a|<\varepsilon$ und $|a_n-b|<\varepsilon$. Für solche n folgt: $|a-b|=|a-a_n+a_n-b|\leq|a-a_n|+|a_n-b|<2\varepsilon$. Dies ist für alle $\varepsilon>0$ so, also: $|a-b|=0$. \end{quote}\end{Beweis} \end{quote} \subsection{Rechenregeln} \begin{quote} \begin{itemize} \item[1.] Falls $a_n\to a,~b_n\to b$, so $a_n\pmd b,~|a_n|\to|a|$ Falls $b\neq 0$, so existiter $n_0\in\N$ mit $\forall n\geq n_0:b_n\neq0$, und dann $\frac{a_n}{b_n}\to\frac{a}{b}$ (Grenzwertbildung vertauschbar mit Grundrechenarten und mit Betrag.) \begin{Beweis}Beweis: ($\pm$ trivial) Exemplarisch "`$\cdot$"': \begin{quote} Es gilt $a_n\to a, b_n\to b$. $(b_n)$ ist beschränkt, dann zu $\varepsilon:=1$ existiert $N\in\N$ mit $\forall n>N:~|b_n-b|\leq \varepsilon$. Somit $\forall n\geq N:~|b_n|=|b_n-b+b|\leq|b_n-b|+|b|<|b|+1$. Also $\forall n\in\N:~|b_n|\leq max\left\{\abb{max(b_j)}{j=1,N}, |b|+1\right\}=:B$ Ebenso: $\exists A>0:~\forall n\in\N:~|a_n|\leq A$ \end{quote}\end{Beweis} Sei $\varepsilon >0$. Es existiert $N_1\in\N$ mit $\forall n\geq N_1:~|a_n-a|<\frac{\varepsilon}{2B}$ Analog: Es existiert $N_2\in\N$ mit $\forall n\geq N_2:~|b_n-b|<\frac{\varepsilon}{2A}$ Für $n\geq max\{N_1,N_2\}$ ist $|a_nb_n-ab| =|(a_n-a)b_n+ab_n-ab| =|(a_n-a)b_n+a(b_n-b)|$ $\leq |b_n|\cdot|a_n-a|+|a|\cdot|b_n-b| <\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} =\varepsilon$ Also: $a_nb_n\to ab$ \item[2.]$a_n\to a \Rightarrow$ [Für $n\in\N_0$ gilt: $a_{n+n_0}\to a$] \item[3.] Falls $\forall n\in \N:~a_n\leq b_n$ und $a_n\to a,~b_n\to b$, so auch $a\leq b$. Speziell, falls $\forall n\in\N:a_1\leq c\in\R$, so auch $a\leq c$. $\Rightarrow$ Für $(a_n),(b_n\in\R)$ \item[4.]Falls $\forall n\in\N: a_n\in\C,~b_n\in\R: |a_n|\leq b_n$ und $b_n\to 0$, so $a_n\to 0$. \item[5.]$(a_n)$ konv. $\Rightarrow (a_n)$ beschränkt, d.h.: $\exists c>0:~\forall n\in\N:~|a_n|\leq c$ \end{itemize} \end{quote} \subsection{Beispiele} \begin{quote} \begin{itemize} \item[1)] $a_n:\frac{1}{n},~a_n\to0~(n\to\infty)$. \begin{Beweis}Beweis: \begin{quote}Sei $\varepsilon>0$. Nach Archimedes existiert $N\in\N$ mit $N>\frac{1}{\varepsilon}$. Für $n\geq N$ folgt: $|a_n-0|=\frac{1}{n}\leq\frac{1}{N}<\varepsilon$\end{quote}\end{Beweis} \item[2)] $a_n:=(-1)^n,~n\in\N_0$. $a_0=1,~a_1=-1,~a_2=1,~a_3=-1...$ ($a_n$ ist divergent) \end{itemize} \end{quote} \subsection{Beispiele für Grenzwertberechnung} \begin{quote} \begin{itemize} \item[a)] $a_n:=\frac{n^2+3}{2n^3+n}~(n\in\N),~|a_n|=\frac{n^2}{2n^3+n}+\frac{3}{2n^3+n}\leq\frac{n^2}{2n^3}+\frac{3}{n} =\underbrace{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n}}_{\to 0}+\underbrace{\frac{3}{n}}_{\to 0}\to 0$ \item[b)] $a_n:=\frac{4n^3-7n^2+1}{3n^3+n+2}=\frac{n^3(4-\frac{7}{n}+\frac{1}{n^2})}{n^3(3+ \frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^3})}\abb{\longrightarrow}{\frac{1}{n}\to 0}\frac{4}{3}$ \end{itemize} \end{quote} \subsection{Teilfolgen \& Häufungspunkte} \begin{quote} \begin{itemize} \item[1)] Eine Folge $(b_n)$ heißt \emph{Teilfolge} der Folge $(a_n)$, falls gilt: \begin{quote} Es gibt ein $\varphi:\N\to\N$ streng monoton wachsend. ($\varphi(j+1)>\varphi(j)\forall j\in\N$), so dass $\forall n\in\N:~b_n=a_{\varphi(n)}$ . \end{quote} \emph{Missbräuchliche Notation} "`$(b_n)\subset(a_n)$"' für $(b_n)$ ist Teilfolge von $(a_n)$. \emph{Bemerkung}: Für $\varphi:\N\to\N$ str. wachsend ist $\forall n\in\N:~\varphi(n)\geq n$ . \item[2)] $x\in\C$ heißt \emph{Häufungspunkt} der Folge $(a_n)\subset\C$, wenn gilt: \begin{quote} Es existiert eine Teilfolge $(b_n)\subset(a_n)$ mit $(b_n)\to x$. \end{quote} \end{itemize}\hpic[r]{\includegraphics[width=0.4\textwidth]{Maphy_Bilder/6_7.PNG}} \end{quote} \subsection{Bemerkung} \begin{quote} $a_n\to x \Leftrightarrow$ jede Teilf. $(b_n)\subset(a_n)$ erfüllt $b_n\to x$ \begin{Beweis}Beweis: leicht\end{Beweis} Beispiel: \begin{quote} $a_n:=(-1)^n$ nicht konvergent; $(a_{2n})\to 1$; $(a_{2n+1})\to -1$ $a_n$ hat die Häufungspunkte: +1, -1 . \end{quote} \end{quote}\newpage \subsection{Satz \& Definition} \begin{quote} \parpic(4cm,3cm)(1cm,3cm)[r]{\includegraphics[width=0.2\textwidth]{Maphy_Bilder/6_9.PNG}}Sei $(a_n)\subset\R$ beschränkt (d.h. es ex. $c>0$ mit $\forall n\in\N:~|a_m|c\}$ endlich. Sei $s:=inf\{c\in\R|\{n\in\N|a_n>c\}\}~ \mbox{endlich}\}$. Dann $M\supset(s;\infty)$ ! \emph{Behauptung}: s ist Hp von $(a_n)$. \begin{Beweis}Beweis: \begin{quote} Sei $\varepsilon >0$ und $N\in\N$. Dann $s-\varepsilon\notin M$, also existieren unendlich viele Folgeglieder $n\in\N$ mit $a_n>s$, also existiert $n\in\N, n>N$ mit $a_n>s-\varepsilon$ . Damit konstruiere Teilfolge $(a_{\varphi(j)})\subset(a_n)$ mit $\forall j\in \N:~(a_{\varphi(j)})>s-\frac{1}{j}$ . Falls $(a\varphi(j))\Arrownot\to s$, so ex. $\varepsilon_0>0$ und eine Teilf. $(a_{\psi(j)})$ von $((a_{\varphi(j)}))$, so dass $\forall j\in\N:~a_{\psi(j)}\geq s+\varepsilon_0$. \emph{Widerspruch} zu $s+\varepsilon_0 \in M$, da alle $((a_{\psi(j)}))(j\in\N)$ $(a_{\psi(j)})>s+\varepsilon_0$ erfüllen. \emph{Also} $(a_{\varphi(j)})\to s$ \end{quote}\end{Beweis} \emph{ 2. Behauptung}: s ist größter Hp von $(a_{n})$ \begin{Beweis}Beweis: \begin{quote} Sei x Hp von $(a_n)$. Z.z. ist: $x\leq s$. Es existiert Teilf. $(a_{\varphi(j)})\subset(a_n)$ mit $(a_{\varphi(j)})\to x$. Falls $x>s$, so existiert zu $\varepsilon:=\frac{x-s}{2}>0$ ein $n_\varepsilon\in\N$, so dass $\forall n\geq n_\varepsilon:~|a_{\varphi(j)}-x|<\varepsilon$. Für solche $n\geq n_\varepsilon$ folgt, dass $(a_{\varphi(n)})=\underbrace{(a_{\varphi(n)})-x}_{>a-\varepsilon}+x>x-\varepsilon = \frac{x+s}{2}>s$ \emph{Widerspruch} zu $s+\varepsilon_0\in M$, da alle $(a_{\psi()})()$ \emph{Also} $x\leq s$ \end{quote}\end{Beweis} Beweis $lim~inf~$ analog. \end{quote}\end{Beweis} \end{quote} \subsection{Satz: Bolzano Weierstraß} \begin{quote} Sei $(a_n)\subset\R$ beschränkte Folge. Dann hat $(a_n)$ einen Häufungspunkt, also eine konvergente Teilfolge. \begin{Beweis}Beweis: Nach 6.9 ist z.B. $\limsup~ a_n$ Hp.\end{Beweis} Bemerkung: Gilt auch für $\R^n,~n\geq 2$, insbesondere für $\C=\R^2$ \end{quote} \subsection{Satz} \begin{quote} Sei z.B. $(a_n)$ monoton wachsend, also $a_n\leq a_{n+1}~(n\in\N)$. Setze $a:=\limsup~a_n$. Es ex. Teilf. $(a_{\varphi(n)})\subset(a_n)$ mit $a_{\varphi(n)}\to a$. Sei $\varepsilon>0$. Es ex. $n_\varepsilon\in\N$ mit $\forall n\geq n_\varepsilon:~|a_{\varphi(n)}-a|<\varepsilon$. wegen $a_n$ wachsend gilt: $0\geq a-a_{\varphi(n)}>-\varepsilon$. Für $n\geq \varphi(n_\varepsilon)$ ist $\varphi(n)\geq n\geq\varphi(n_\varepsilon)\geq n_\varepsilon$ und $a_{\varphi(n)}\geq a_n\geq a_{\varphi(n_\varepsilon)}$ (da $(a_j)$ wachsend). Also $0\geq a_{\varphi(n)}-n\geq a_n -a\geq a_{\varphi(n_\varepsilon)} \geq -\varepsilon$, insbes. $|a_n-a|<\varepsilon$. Also $a_n\to a$ \end{quote} \subsection{Definition/Satz: Cauchysches Konvergenzkriterium} \begin{quote} \begin{itemize} \item[a)] Eine Folge $(a_n)\subset\C$ heißt Cauchy-Folge, falls gilt: $\forall\varepsilon>0~\exists N\in\N~\forall m,n\in\N:~|a_n-a|<\varepsilon$ \item[b)] Es gilt: $(a_n)$ ist konf. $\Leftrightarrow (a_n)$ ist Cauchy-Folge \item[c)] Die Eigenschaft, dass jede Cauchy-Folge konvergiert, nennt man auch Vollständigkeit \end{itemize} \begin{Beweis}Beweis: \begin{itemize} \item[b)] "'$\Rightarrow$"': Sei $(a_n)\subset\C$ konv. mit $limes~a\in\C$. Sei $\varepsilon>0$. Es ex. $N\in\N$ mit $\forall n\geq N:~|a_n-a|<\frac{\varepsilon}{2}$. Für $m,n\geq N$ gilt: $|a_m-a_n|=|a_m-a+a-a_n|\leq\underbrace{|a_m-a|}_{<\frac{\varepsilon}{2}}+ \underbrace{|a-a_n|}_{<\frac{\varepsilon}{2}}<\varepsilon$ "`$\Leftarrow$"': $(a_n)$ beschränkt.: Zu $\varepsilon:=1$ ex. $N\in\N$ mit $\forall m,n\geq N:~|a_m-a_n|<1$, speziell $\forall n>N:~|a_n-a_N|<1$. Es folgt mit $c:=max\{|a_N|+1,max\{|a_1|,...,|a_N|\}\}:~\forall n\in\N:~|a_n|\leq c$. Nach Bolzano-Weierstraß ex. $a\in\C$ und Teilfolge $(a_{\varphi(n)})\subset(a_n)$ mit $(a_{\varphi(n)})\to a$. \end{itemize}\end{Beweis} \end{quote} \end{quote} \section{Reihen} \begin{quote} \subsection{Definition} \begin{quote} Sei $(a_n)_{n\geq 0}\subset\C$ Folge. \begin{itemize} \item[a)] Die zugehörige Reihe $\sum a_n$ (auch $\sum\limits_{n\geq 0}a_n$, $\sum\limits_{n=0}^\infty a_n$ etc.) ist die Folge der Partialsummen $(s_n)_{n\geq 0}$, $s_n:=\sum\limits_{j=0}^n a_j$ \item[b)] Die Reihe $\sum a_n$ heißt konvergent/divergent $\Leftrightarrow$ $(s_n)$ konv./div. (Konvergenz der Reihe hängt nicht vom Anfangsindex ab, der Wert (im Konvergenz-Fall) schon!) Grenzwert von $(s_n)$ wird, falls ex., mit $\sum\limits_{n=n_0}^\infty a_n$ bezeichnet. \item[c)] $\sum a_n$ heißt absolut konvergent $\Leftrightarrow~\sum|a_n|$ konv. (gleichbedeutend: $\sum\limits_{j=0}^n|a_j|_{n\geq 0}$ beschr.) \end{itemize} \end{quote} \subsection{Bemerkung} \begin{quote} $\sum a_n$ absolut konv. $\abb{\Rightarrow}{\cancel{\Leftarrow}}$ $\sum a_n$ konv. $\abb{\Rightarrow}{\cancel{\Leftarrow}}$ $a_n\to 0$ Gegenbeispiele: \begin{quote} "`$\cancel{\Leftarrow_1}$"': $\sum\limits_{n}(-1)^{n+1}\cdot \frac{1}{n}$. alternierende harmon. Reihe, konv. aber nicht abs. konv. "`$\cancel{\Leftarrow_2}$"': $\sum\limits_{n\geq 1} \frac{1}{n}$. harmonische Reihe, divergent. \end{quote} \begin{Beweis}Beweis: \begin{quote} zu "`$\Rightarrow_1$"': \begin{quote} Sei $|a_n|$ konv. und $s_n:=\sum\limits_{j=n_0}^na_j,~\sigma_n:=\sum\limits_{j=n_0}^n|a_j|~(n\geq n_0)$. Zeige: $(s_n)$ Cauchy-Folge (also konv.). Es ist $(\sigma_n)$ konv. also Cauchy-Folge. Sei $\varepsilon>0$, ex. $n_\varepsilon \in \N$ mit $\forall m,n\geq m_\varepsilon:~|\sigma_m-\sigma_n|<\varepsilon$. Für solche m, n und $m>n$ ist $|s_m-s_n|=\bigg|\sum\limits_{j=n+1}^ma_j\bigg|\geq\sum\limits_{j=n+1}^m|a_j| =\sigma_m-\sigma_n=|\sigma_m-\sigma_n|<\varepsilon$. \end{quote} zu "`$\Rightarrow_2$"': \begin{quote} Sei $\sum a_n$ konv., dann ist $(s_n)$ Cauchy-Folge, also ex. zu $\varepsilon>0$ ein $n_\varepsilon\in\N$ mit $\forall m,n\geq n_\varepsilon:~|s_m-s_n|<\varepsilon$. Für $n\geq n_\varepsilon+1$ ist $|a_n|=|s_n-s_{n-1}|<\varepsilon$. \end{quote} \end{quote}\end{Beweis} \end{quote} \subsection{Satz: Geometrische Reihe} \begin{quote} Für $q\in \C$ ist $\sum_n q^n$ konv. $\Leftrightarrow$ $|q|<1$. Falls $|q|<1$, so $\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}$. \begin{Beweis}Beweis: \begin{quote} "`$\Rightarrow$"': $\sum a^n$ konv. $\abb{\Rightarrow}{7.2 2)}$ $q^n\to 0~\Rightarrow |q|<1$. "`$\Leftarrow$"': Sei $|q|<1$, dann ist für $n\geq 0~~\sum\limits_{j=0}^n a^j=\frac{n-q^{n+1}}{1-q}~\abb{\longrightarrow}{\abb{n\to \infty}{q^n\to 0}}\frac{1}{1-q}$ \end{quote}\end{Beweis} \end{quote} \subsection{Satz: Mayorantenkriterium} \begin{quote} Sei $|a_n|\leq b_n~(n\geq n_0)$, wobei $(a_n)\subset \C,~b_n\subset[0,\infty)$ und $\sum b_n$ sei konv. Dann auch $\sum (a_n)$ konv. (Also auch $\sum a_n$ konv. nach 7.2 1)). \begin{Beweis}Beweis: \begin{quote} Sei $s_n:=\sum\limits_{j=n_0}^n|a_j|$, für $m,n\geq n_0,~ m>n$ ist $|s_m-s_n|=\sum\limits_{j=n+1}^m(a_j)\leq\sum\limits_{j=n+1}^m b_j$. Zu $\varepsilon>0$ ex., da $\sum b_j$ konv., ein $n_\varepsilon \in \N$ mit $\forall m,n\geq n_\varepsilon,~m>n:~\sum\limits_{j=n+1}^mb_j<\varepsilon$. Für solche $m,n:~|s_m-s_n|<\varepsilon$. Also $(s_n)$ Cauchy-Folge, also konv. \end{quote}\end{Beweis} \end{quote} \subsection{Satz: Quotientenkriterium} \begin{quote} Sei $(a_n)_{n\geq n_0}\subset \C$ und es gebe $q\in[0,1)$ mit $\forall n\geq n_0:~|a_{n+1}|\leq q|a_n|$ (Reicht nicht $(a_{n+1})<|a_n|\forall n\geq n_0$) Dann $\sum|a_n|$ konv. \begin{Beweis}Beweis: \begin{quote} Induktion: $\forall n\geq n_0:~|a_n|\leq q^{n-n_0}\cdot |a_{n_0}|$. Es ist $\sum_n q^{n-n_0}|a_{n_0}|$ konv. $(=|a_{n_0}|\cdot q^{-n_0}\cdot q^n)$ (geometrische Reihe), nach Mayorantenkriterium $\sum|a_n|$ konv. \end{quote}\end{Beweis} \end{quote} \subsection{Satz: Wurzelkriterium} \begin{quote} Sei $(a_n)\subset \C,~\sqrt[n]{|a_n|}$ sei beschränkt und $\limsup \sqrt[n]{|a_n|}<1$. Dann $\sum |a_n|$ konv. \begin{Beweis}Beweis: \begin{quote} Sei $\tilde{q}:=\limsup \sqrt[n]{|a_n|},~\tilde{q}\in [0,1)$. Wähle $q\in(\tilde{q},1)$. Dann ex. ein $N\in\N$ mit $\forall n\geq N:~\sqrt[n]{|a_n|}\leq q$. Folgt: $\forall n>N:~|a_n|\leq q^n$. Nach Mayorantenkriterium: $\sum|a_n|$ konv. \end{quote}\end{Beweis} \end{quote} \subsection{Bemerkung} \begin{quote} Falls $\limsup \sqrt[n]{|a_n|}>1$ (oder $\sqrt[n]{|a_n|}$ unbeschr.), so ist $\sum a_n$ div. \begin{Beweis}Beweis: \begin{quote} Falls $\limsup \sqrt[n]{|a_n|}>1$, so ex. Teilfolge $(b_n)$ von $(a_n)$ mit $\sqrt[n]{|a_n|}>1$. Also $|b_n|>1$, also $a_n\cancel{\to} 0$, $\sum a_n$ div. \end{quote}\end{Beweis} \end{quote} \subsection{Cauchyscher Verdichtungssatz \& Leibnizkriterium} \begin{quote} Sei $(a_n)\subset \R$ monotone Nullfolge. Dann: \begin{itemize} \item[a)] $\sum a_n$ konv. $\Leftrightarrow$ $\underbrace{\sum_n 2^n\cdot a_{2^n}}_{\mbox{verdichtete Reihe}}$ konvergent. \item[b)] $\sum (-1)^n a_n$ konv. (Leibnizkriterium) \end{itemize} \begin{Beweis}Beweis: \begin{quote} zu a) \begin{quote} $s_n=\sum\limits_{j=0}^n a_j$. Es gilt $\sum a_n$ kon. $\Leftrightarrow$ $(a_n)$ beschr. $\Leftrightarrow$ $(a_{2^n})$ beschr. $s_{2n}=a_1+\underbrace{a_2+a_3}_{\leq 2n_2}+\overbrace{a_4+a_5}^{\geq 2a_5}+...+a_8+...+a_{2^{n-1}}+...+a_{2^n}$ $\sum2^na_{2^n}$ konv. $\Rightarrow \sum a_n$ konv. Sei z.B. $a_i\geq 0\forall s\in\N$ Man sieht $\sum a_n$ konv. $\Rightarrow \sum_n 2^{n-1}a_{2^n}$ konv. $\Rightarrow \sum_n 2^{n}a_{2^n}$ konv. \end{quote} zu b) \begin{quote} Für $k\in\N$ sei $s_k:=\sum\limits_{n=1}^k (-1)^na_n$. (Seien z.B. $a_n\geq 0~\forall n:~(a_n)$ fallend) Für gerade k: $s_{k+2}=s_k-a_{k+1}+a_{k+2}\leq s_k$; Für ungerade k: $s_{k+2}=s_k+a_{k+1}-a_{k+2}\geq s_k.$ Also $(s_{2k})$ fallend, $(s_{2k+1})$ wachsend. Weiter $s_0\geq s_{2k}\geq s_{2k-1}\geq s_1$ für $k\in\N$, somit $(s_{2k})$ und $(s_{2k-1})$ monoton und beschr. also konv. \end{quote} \end{quote}\end{Beweis} Beispiel: \begin{quote} \begin{itemize} \item[1)] $\sum_n \frac{1}{n^k}$ konv. $\Leftrightarrow$ $\sum 2^n\frac{1}{(2^n)^k}$ konv. $\Leftrightarrow$ $\sum_n \frac{1}{(2^n)^{k-1}}$ konv. $\Leftrightarrow$ $\sum \left(\frac{1}{2^{k-1}}\right)^n$ konv. $\abb{\Leftrightarrow}{geom. Reihe}~k>1$; insbesondere $\sum\frac{1}{n}$ divergent. \item[2)] $\sum(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ konv. (nach Leibniz-Krit.) (Wert=$log_e(2)$) \end{itemize} \end{quote} \end{quote} \subsection{Folgerung} \begin{quote} Sei $K\in\N_0$ dann ist $\sum\limits_{n\geq 1}\frac{1}{n^k}$ konv. $\Leftrightarrow$ $k>1$ (Gilt auch für $k\in \R$) Beispiel: $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ \end{quote} \subsection{Definition/Satz: Umordnung} \begin{quote} Sei $(a_n)\subset \C$. Sei $P:\N\to\N$ (bzw. $\N_0\to\N_0$) bijektiv. \begin{quote} \begin{itemize} \item[a)] Dann heißt die Reihe $\sum\limits_n a_{\varphi(n)}$ eine Umordnung der Reihe $\sum\limits_n a_n$. (Partialsummen: $\sum\limits_{n=1}^N a_{\varphi(n)}+...+a_{\varphi(N)}$) \item[b)] Falls $\sum\limits_n|a_n|$ konv., so konv auch jede Umordnung von $\sum\limits_n a_n$ gegen den selben Grenzwert. \item[c)] Falls $(a_n)\subset \R,~\sum\limits_n a_n$ konv., aber nicht abs. konv ($\sum\limits_n |a_n|$ diverg.), so gilt $\forall c\in\R~\exists~Umordnung \sum\limits_n a_{\varphi(n)}$, die gegen c konv. (Riemannscher Umordnungssatz) \end{itemize} \end{quote} \begin{Beweis}Beweis: \begin{quote} \begin{itemize} \item[b)] Sei $\varphi:\N\hookleftarrow$ bij., $\varepsilon >0$. Es gibt ein $N\in\N$ mit $\su{n\geq N}{}{|a_n|}<\varepsilon$, da $\sum |a_n|$ konv. Es ex. $M\in \N$ mit $\{1,...,N\}\subset \{\varphi(1),...,\varphi(M)\}$ Für $n\geq M:\bigg|\su{j=1}{n}{a_{\varphi(n)}}-\su{j=1}{\infty}{a_j}\bigg| =\bigg|\su{\abb{l\in\N}{l\notin \{\varphi(1),...,\varphi(n)\}}}{}{a_l}\bigg|\leq\su{\abb{l\in\N}{l\notin \{\varphi(1),...,\varphi(n)\}}}{}{|a_l|}$ $\leq\su{\abb{l\in\N}{l\notin \{\varphi(1),...,\varphi(M)\}}}{}{|a_l|}\leq\su{\abb{l\in\N}{l\notin \{1,...,N\}}}{}{|a_l|}<\varepsilon$ \item[c)] Beweisskizze: \begin{quote} \begin{itemize} \item[1.] Es ist $\su{\abb{n}{a_n\geq 0}}{}{|a_n|}$ div. und $\su{\abb{n}{a_n<0}}{}{|a_n|}$ div (!). \item[2.] Sei $c\in\R$ nehme positive Summanden, bis Summe gerade $>c$, dann negiere Summanden bis $c$, dann ... $0~\exists\delta>0~\forall x\in D,~|x-a|<\delta:~|f(x)-y|<\varepsilon$ . Entsprechend falls $R_0\in \R$ ex. mit $[R_0,\infty)\subset D:$ \begin{quote}$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=y\Leftrightarrow \forall \varepsilon>0~\exists R>0~\forall x\geq R:~|f(x)-y|<\varepsilon$ Analog für $\lim\limits_{n\to-\infty}f(x)=y \Leftrightarrow \forall \varepsilon>0~\exists R<0~\forall x\leq R:~|f(x)-y|<\varepsilon$ \end{quote}\end{quote} \subsection{Definition/Bemerkung: Stetigkeit} \begin{quote} \begin{itemize} \item[a)]\parpic(0cm,2cm)(0cm,0cm)[r]{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Maphy_Bilder/8_2_1.PNG}} f wie in 8.1 heißt stetig im Punkt $a\in D$, falls gilt: $\forall\varepsilon>0~\exists\delta>0~\forall x\in D,~|x-a|<\delta:~|f(x)-f(a)|<\varepsilon$ . Äquivalent sind: \begin{quote} \begin{itemize} \item[1)]$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)$ ex. $(=f(a))$ \item[2)]Für jede Folge $(x_n)\subset D,~x_n\to a$ gilt: $f(x)\to f(a)$ \end{itemize} \end{quote} ("`$\varepsilon-\delta$-Definition der Stetigkeit"') \item[b)] f heißt stetig, falls f bei allen Punkten $a\in D$ stetig ist. \end{itemize}\newpage Bemerkung: \begin{quote}\parpic(3cm,4cm)(0cm,4cm)[r]{\includegraphics[width=0.2\textwidth]{Maphy_Bilder/8_2_2.PNG}} \begin{itemize} \item[1)] Falls $D\subset \R$ Intervall, so bedeutet $f:D\to \R$ stetig anschaulich, dass man den Graphen von f "`ohne abzusetzen zeichnen"' kann. \item[2)] Sonst: Definition nachprüfen. \end{itemize} \end{quote} Beispiel: \begin{quote} \begin{itemize} \item[a)]$f:\R\hookleftarrow,~f(x)=x$ ist stetig \item[b)]$f:\N\to\R,~f(x)=x$ ist stetig \item[c)]$f:\R\hookleftarrow,~f(x)=\cas{\frac{1}{x}}{,x\neq 0}{0}{,x=0}$ ist stetig in allen Punkten $x\neq 0$, aber unstetig im Punkt $x=0$ \item[d)]$f:\R\hookleftarrow,~f(x)=\cas{1}{x\in\Q}{0}{x\notin\Q}$ ist unstetig in allen Punkten ("`Dirichlet-Funktion"') \end{itemize} \end{quote} \end{quote} \subsection{Rechenregeln (analog zu Folgen)} \begin{quote} $\lim\limits_{x\to a}(f(x)\pmd g(x))=\lim\limits_{x\to a}f(x) \pmd \lim\limits_{x\to a}g(x)$, falls $f(x)$ und $g(x)$ existieren. Entsprechend für "`/"', falls $g(x)\neq 0$. Analog für $x\to\pm\infty$ \end{quote} \subsection{Folgerung} \begin{quote} \begin{itemize} \item[a)] $f,g$ in $a\in \C$ und dort stetig, so auch $f\pmd g$ stetig bei a. Falls $g(a)\neq 0$, so auch $\frac{f}{g}$ bei a. \item[b)] f stetig in $a,~g$ stetig in $f(a)\Rightarrow~g\circ f$ stetig in a. \end{itemize} \end{quote} \subsection{Definition: Gleichmäßige Stetigkeit} \begin{quote} Sei $D\subset \C,~f:D\to\C$ und $a\subset D$. f heißt gleichmäßig stetig auf A $\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0~\exists\delta>0~\forall a\in A~\forall x\in D,~|x-y|<\delta:~|f(x)-f(a)|<\varepsilon$. f stetig auf A würde bedeuten: $\forall a\in A~\exists\delta>0~\forall\varepsilon>0~\forall x\in D,~|x-y|<\delta:~|f(x)-f(a)|<\varepsilon$. \end{quote} \end{quote} \section{Stetige Funktionen auf Intervallen} \begin{quote} Sei stets $a,b\in \R,~a0$ ex. mit $\xi+\delta0~\forall\delta>0~\exists x\in[a,b]\exists y\in D,~|x-y|<\delta,~|f(x)-f(y)|\geq\varepsilon_0$. Also ex. zu $\delta_n=\frac{1}{n}~x_n\in[a,b],~y_n\in D,~|x_n-y_n|<\frac{1}{n},~|f(x)-f(y)|\geq \varepsilon_0$. Nach Bolzano-Weiertraß ex. konv. Teilfolge $(x_{\varphi(n)})\subset(x_n)$ mit $\lim~x^*\in[a,b]$ wegen $|x_{\varphi(n)}-y_{\varphi(n)}|<\frac{1}{\varphi(n)}$ gilt auch $y_{\varphi(n)}\to x^*$. Dann, da f st. bei $x^*:f(x_{\varphi(n)})\to f(x^*),~f(y_{\varphi(n)})\to f(x^*)$. Widerspruch zu $|f(x_{\varphi(n)})-f(y_{\varphi(n)})|\geq \varepsilon_0~(\forall n\in\N)$ \end{quote}\end{Beweis} \end{quote} \subsection{Definition: Konvergenz von Funktionsfolgen} \begin{quote} Sei $D\subset\C,~f_n:D\to\C $ Funktion für $n\in\N$ und $f:D\to\C$. $(f_n)$ konv. auf D punktweise gegen f $\Leftrightarrow~\forall x\in D:~f_n(x)\abb{\longrightarrow}{n\to\infty}f(x)$. \begin{quote} (Bedeutet: $\forall x\in D~\forall\varepsilon>0~\exists N\in\N,~\forall n\geq N:~|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$ (von $\varepsilon$ und n abhängig!)) \end{quote} $(f_n)$ konv. auf D gleichmäßig gegen f $\Leftrightarrow~\forall\varepsilon>0~\exists N\in\N,~\forall n\geq N~\forall x\in D:~|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$. (nur von $\varepsilon$!) Beispiel: \begin{quote} $f_n:[0,1]\to\R,f_n(x):=x^n$\parpic(1cm,1cm)(0cm,0cm)[r]{\includegraphics[width=0.2\textwidth]{Maphy_Bilder/9_5_1.PNG}} $f_n$ stetig, $f_n(x)\abb{\longrightarrow}{n\to\infty}\begin{cases}0&x\in[0,1)\\1&x=1\end{cases}\bigg\}:=f(x)$ \parpic(3cm,3cm)(2cm,1.5cm)[r]{\includegraphics[width=0.2\textwidth]{Maphy_Bilder/9_5_2.PNG}} $f_n\to f$ punktweise. z.B. für $\varepsilon=\kr{10}: ~\cancel\exists N\in\N~\forall n\geq N:~\forall x\in[0,1]:|f_n(x)-f(x)|\leq\kr{10}$. $\bigg(\forall n\in\N:~f_n\bigg(\kr{\sqrt[n]{2}}\bigg)=\kr{2}\bigg)$ \end{quote} \end{quote} \end{quote} \section{Potenzreihen, spezielle Funktionen} \begin{quote} \subsection{Definition} \begin{quote} Sei $(a_n)_{n\in\N_0}\subset\C,~z_0\in\C$. Die (von $z\in\C$ abh.) Reihe $\sum\limits_{n\geq 0} a_n(z-z_0)^n$ heißt Potenzreihe mit Koeffizienten $a_n$ und mit Entwicklungspunkt $z_0$. Sie definiert durch $f(z):=\sum\limits_{n\geq 0} a_n(z-z_0)^n$ überall dort, wo sie konvergiert. (sicher für $z=z_0$) \end{quote} \subsection{Satz: Konvergeng von Potenzreihen} \begin{quote} Für eine Potenzreihe $\sum a_n(z-z_0)^n$ tritt genau einer der folgenden 3 Fälle ein: \begin{itemize} \item[1)] $\limsup\sqrt[n]{|a_n|}=0$, Potenzreihe konvergiert für alle $z\in\C$ \item[2)] $(\sqrt[n]{|a_n|})$ ist beschr., $\limsup\sqrt[n]{|a_n|}>0$. Dann ist mit $\rho:=\kr{\limsup\sqrt[n]{|a_n|}}$ (Cauchy-Hadamard): $\sum a_n(z-z_0)^n=\begin{cases}\text{divergent}&\text{falls }|z-z_0|>\rho\\\text{konvergent}&\text{falls }|z-z_0|<\rho\\\end{cases}$ \item[3)] $\sqrt[n]{|a_n|}$ ist unbeschr., $\sum a_n(z-z_0)^n$ konvergent nur für $z=z_0$. \end{itemize} \begin{Beweis}Beweisidee: $\alpha_n:a_n(z-z_0)^n$, Wurzelkrit. für $\sum \alpha_n$. \begin{itemize} \item[1)]Falls $\sqrt[n]{|a_n|}\to 0 $ dann auch $\forall z\in\C:\sqrt[n]{|a_n|}\to 0$ \item[2)] Falls $\limsup \sqrt[n]{|a_n|}=\kr{\rho}>0$, so $lim~sup \sqrt[n]{|a_n|} =\begin{cases}\>0&\text{falls } |z-z_0|>\rho\\<0&\text{falls }|z-z_0|<\rho\\\end{cases}$ \item[3)] Falls $\sqrt[n]{|a_n|}$ unbeschr., so für $z\neq z_0$ auch $\sqrt[n]{|\alpha_n|}$ \end{itemize}\end{Beweis} \end{quote} \subsection{Bemerkung: lokale gleichmäßige Konvergenz} \begin{quote} Auf jeder abgeschlossenen Kreisscheibe der Form $\{z\in\C||z-z_0|\leq r\}$, die ganz im offenen Konvergenzkreis $\{z\in\C||z-z_0|<\rho\}$ (Konvergenzradius $\rho$) konvergiert $\sum a_n(z-z_0)^n$ sogar gleichmäßig (absolut). Beweis: \begin{quote} Sei $\varepsilon>0, r$ wie angegeben. Dann für $r\in\C,~|z-z_0|\leq r:$ $\limsup\sqrt[n]{a_n(z-z_0)^n}\leq \overbrace{\underbrace{\limsup\sqrt[n]{|a_n|}}_{= \kr{\rho}\text{ bzw. }0}}^{\text{unabh. v. z mit }|z-z_0|\leq r}<1$. Also existiert $q\in[0,1)$ und $N_0\in\N$ mit $\forall n\geq N:~|a_n|\cdot|z-z_0|^n\leq q^n$. Es ex. $N_\varepsilon\geq N_0$ mit $\sum\limits_{n\geq N_\varepsilon}q^n<\varepsilon$, da $\sum\limits_{n}q^n$ konvergiert. Für $z\in \C$ mit $|z-z_0|\leq r$ folgt $\bigg|\sum\limits_{n=0}^{N_\varepsilon} a_n(z-z_0)^n-\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(z-z_0)^n-\bigg|$ $=\bigg|\sum\limits_{n\geq N_\varepsilon}a_n(z-z_0)^n\bigg|\leq \sum\limits_{n\geq N_\varepsilon}|a_n|\cdot|z-z_0|^n<\varepsilon$ \end{quote} \end{quote} \subsection{Folgerung} \begin{quote} \parpic(3cm,3cm)(2cm,2cm)[r]{\includegraphics[width=0.1\textwidth]{Maphy_Bilder/10_4.PNG}}Die Summenfunktion $z\to\sum\limits_{n\geq 0}a_n(z-z_0)^n$ ist stetig im inneren des Konvergenzkreies. \newpage \begin{quote}\end{quote} \begin{Beweis}Beweisidee: \begin{quote} Sei $\rho$ der Konvergenzradius, $w\in\C,~|w-z_0|<\rho$. Dann mit $r:=\frac{|w-z_0|+\rho}{2}$ (bzw. $|w-z_0|+1$, falls $\rho=\infty$): $p_N(z):\sum\limits_{n=0}^{N}a_n(z-z_0)^n:~p_n|_{B(z_o,r)}\to f|_{B(z_o,r)}$ glm. ($f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n$, $p_n$ Polynomfunktion stetig) Nach Satz von Weierstraß: $f|_{B(z_o,r)}$ st. Falls nun $(w_j)$ Folge, $w_j\to w$, so: $\exists j_0~\forall j\to j_0: w_j\in B(z_o,r)$. Somit $f(w_j)=f|_{B(z_o,r)}w_j\abb{\longrightarrow}{j\to\infty}f|_{B(z_o,r)}(w)=f(w)$ \end{quote}\end{Beweis} \end{quote} \subsection{Satz \& Definition} \begin{quote} Die Folgenden Potenzreihen konvergieren für alle $z\in \C$ absolut und definieren somit stetige Funktionen $\C\to\C$. \begin{quote} $exp(z)=\sum\limits_{j=0}^{\infty}\frac{z^j}{j!}=1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+...$ $sin(z)=\sum\limits_{j=0}^{\infty}(-1)^j\frac{z^{2j+1}}{(2j+1)!}=z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\frac{z^7}{7!}+...$ $cos(z)=\sum\limits_{j=0}^{\infty}(-1)^j\frac{z^{2j}}{(2j)!}=1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\frac{z^6}{6!}+...$ \end{quote} \begin{Beweis}Beweis exemplarich für $exp(z)$: \begin{quote} $\left|\frac{\frac{z{j+1}}{(j+1)!}}{\frac{z^j}{j!}}\right|=\frac{|z|}{j+1}\leq \kr{2}$ für $j\geq 2|z|$ Quadrantenkriterium $\Rightarrow$ konvergent. \end{quote}\end{Beweis} Bemerkung: \begin{quote} \begin{itemize} \item[1)]$cos(-z)=cos(z)$ (gerade), $sin(-z)=-sin(z)$ (ungerade) \item[2)]Schreibweise oft auch $exp(z)=e^z$ \item[3)]Für $x\in\R$ ist $exp(x),~sin(x),~cos(x) \in \R$ \end{itemize} \end{quote} \end{quote} \subsection{Funktionalgleichung der exp-Funktion} \begin{quote} Für $x,z\in\C$ ist $exp(x+y)=exp(x)\cdot exp(y)$. \begin{Beweis}Beweis: $e^{x+y}$ \begin{quote} $=\sum\limits_{j=0}^{\infty}\frac{(x+y)^j}{j!}=\sum\limits_{j=0}^{\infty}\frac{1}{j!}\cdot\bigg(\sum\limits_{l=0}^{n}\ub{j}{l}\cdot x^l\cdot y^{j-l}\bigg)$ $= \sum\limits_{l=0}^{\infty}\sum\limits_{j>l} \kr{j}x^ly^{j-l}\frac{j!}{l!(j-l)!} =\sum\limits_{l=0}^{\infty}\frac{x^l}{l!}\bigg(\sum\limits_{j\geq l}\frac{y^{j-l}}{(j-l)!}\bigg)$ $=\sum\limits_{l=0}^{\infty}\frac{x^l}{l!}\bigg(\sum\limits_{j\geq l}\frac{y^{j}}{j!}\bigg) =\bigg(\sum\limits_{j\geq0}\frac{y^j}{j!}\bigg)\bigg(\sum\limits_{l\geq 0}\frac{x^l}{l!}\bigg)$ $=e^y\cdot e^x$\end{quote}\end{Beweis} \end{quote} \subsection{Satz: Formel von Euler de Moivre} \begin{quote} \parpic(0cm,3cm)(0cm,3cm)[r]{\includegraphics[width=0.2\textwidth]{Maphy_Bilder/10_7.PNG}}Für alle $z\in\C$ gilt: $e^{iz}=cos(z)+isin(z)$. Speziell für $t\in\R:~ e^{it}=\underbrace{cos(t)}_{\in\R}+i\underbrace{sin(t)}_{\in\R}$. Also $cos(t)=\Re(e^{it})$, $sin(t)=\Im(e^{it})$. Weiter: $|e^{it}|=1$ \begin{Beweis}Beweis: \begin{quote} \begin{itemize} \item[1.] $e^{iz}=\sum\limits_{j=0}^\infty\frac{iz)^j}{j!}$ $=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(iz)^{2k}}{(2k)!}+\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{(iz)^{2k+1}}{(2k+1)!}$ $=\underbrace{\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k z^{2k}}{(2k)!}}_{=cos(z)}+i\underbrace{\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{(-1) z^{2k+1}}{(2k+1)!}}_{=sin(z)}$ \item[2.] Für $t\in\R:~cos(t)\in\R,~sin(t)\in\R$ und $cos(t)=\Re(e^{it}),~sin(t)=\Im(e^{it})$. Für $z=a+bi$ ist $|z|^2 =z\cdot \overline{z}=a^2+b^2$, also $|e^{it}|^2=e^{it}\cdot e^{-it}=(cos(t)+isin(t))\cdot (cos(t)-isin(t))$ $=(cos(t)+isin(t))\cdot(cos(-t)+isin(-t))=e^0$, also $|e^{it}|=1$ \end{itemize} \end{quote}\end{Beweis} \end{quote} \subsection{Folgerung} \begin{quote} $\forall z\in\C:cos^2(z)+sin^2(z)=1$ \begin{Beweis}Beweis: \begin{quote} $1=e^{iz}\cdot e^{-iz}=(cos(z)+isin(z))\cdot(cos(z)-isin(z))$ $=cos^2(z)+cos(z)sin(z)-cos(z)sin(z) + sin^2(z)=cos^2(z)+sin^2(z)=1$ \end{quote}\end{Beweis} \end{quote} \subsection{Folgerung: Additionstheoreme} \begin{quote} Für $x,y\in\R$ gilt: \begin{quote} $cos(x\pm y)=cos(x)cos(y)\mp sin(x)sin(y)$ $sin(x\pm y)=sin(x)cos(y)\pm cos(x)sin(y)$ \end{quote} \begin{Beweis}Beweis: \begin{quote} $e^{i(x+y)}=e^{ix}\cdot e^{iy}=(cos(x)+isin(x))\cdot(cos(y)+isin(y))$ $=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)+i(sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y))$ $=cos(x+y)+isin(x+y)$ Vergleiche Real- und Imaginärteil! \end{quote}\end{Beweis} \end{quote} \end{quote}\newpage \section{Differenzierbarkeit} \begin{quote} \parpic(0cm,3cm)(0cm,2.3cm)[r]{\includegraphics[width=0.23\textwidth]{Maphy_Bilder/11_1.PNG}}Notation: $B(z_0,\delta):=\{z\in\C||z-z_0|<\delta\}$ für $z_0\in\C,~\delta>0,~B(x_0,\delta):=(x_0-\delta,x_0+\delta)$ \subsection{Definition} \begin{quote} Sei $D\subset\C$ (oder $\R$) und $x_0\in D$ "`innerer Punkt"' von D (d.h. es ex. $\delta>0$ mit $B(x_0,\delta)\subset D$) Sei $f:D\to\C$ (oder $\R$) \begin{quote} \begin{itemize} \item[a)] f heißt bei $x_0$ differenzierbar (diffbar) $\Leftrightarrow~\lim\limits_{\substack{x\to x_0\\x\neq x_0}} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ existiert. Der Grenzwert wird dann mit $f'(x_0)$ bezeichnet (auch $\frac{df}{dx}(x_0),~\dot{x}(x_0)$) ("`Ableitung von f an der Stelle $x_0$"') \item[b)] Falls f bei allen $x_0\in D$ diffbar, so heißt f diffbar. Dann heißt die Funktion $f':D\ni x_0 \to f'(x_0)$ Ableitung von f. Im reellen Fall: Steigung (Sekante) $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ (Differenzenquotient). \end{itemize} \end{quote} \subsection{Bemerkung} \begin{quote} Falls $x_0$ immer Punkt von D, so ist Diffbarkeit von f äquivalent mit jeder der folgenden Bedingungen: \begin{quote} \begin{itemize} \item[1)] $\exists \alpha\in\C:\forall \varepsilon>0\exists\delta>0\forall x\in B(x_0,\delta)\setminus\{x_0\}:\bigg|\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-\alpha\bigg|<\varepsilon$ \item[2)] $\exists \alpha\in\C:\forall \varepsilon>0\exists\delta>0\forall x\in B(x_0,\delta):$ $|f(x)-f(x_0)-\alpha(x-x_0)|\leq \varepsilon |x-x_0|$ \item[3)] Es existiert $\delta>0$ und $\alpha \in\C $ und $ r:B(x_0,\delta)\to \C (\R)$ stetig bei $x_0,~r(x_0)=0$ so dass gilt: $\forall x\in B(x_0,\delta):f(x)=f(x_0)+\alpha(x-x_0)+r(x)(x-x_0)$ (Fehler: $r(x)(x-x_0)$) \end{itemize} \end{quote} Bemerkung: \begin{quote} 2) und 3) drücken aus, dass der Fehler in der Approximation $f(x)-f(x_0)\approx\alpha{x-x_0}$ auch bei Division durch $|x-x_0|$ für $x\to x_0$ gegen 0 konvergiert. Falls Bedingungen 1) bis 3) in 11.2 gelten, so ist $\alpha=f'(x_0)$ \end{quote} \end{quote} \end{quote} \subsection{Linearität der Ableitung der Zuordnung \texorpdfstring{$f(x_0)\mapsto f'(x_0)$}{f(x0) nach f'(x0)}} \begin{quote} Falls f, g diffbar bei $x_0,\lambda\in\C$ so ist auf $(f+g)',~\lambda\cdot f$ diffbar bei $x_0$ und $(f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0),~(\lambda f)'(x_0)=\lambda f'(x_0)$ \end{quote}\newpage \subsection{Satz} \begin{quote} f bei $x_0$ diffbar $\abb{\Rightarrow}{\cancel{\Leftarrow}}$ f bei $x_0$ stetig. \begin{Beweis}Beweis: \begin{quote} "`$\Rightarrow$"' Nach 11.2 3): $f(x)=f(x_0)+\underbrace{\alpha(x-x_0)}_{x\to 0} +\underbrace{r(x)(x-x_0)}_{\substack{\to 0\\x\mapsto x_0}} \abb{\longrightarrow}{x\mapsto x_0}f(x_0)$ "`$\cancel{\Leftarrow}$"' $f(x)=|x|$ bei $x_0=0\Rightarrow \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\begin{cases}+1&,x>0\\-1&x<0\end{cases}$ $\Rightarrow \lim\limits_{\substack{x\to x_0\\x\neq x_0}}|x|$ existiert nicht. \end{quote}\end{Beweis} \end{quote} \subsection{Bezeichnung} \begin{quote} Sei $f:D\to\C$ diffbar. f heißt stetig diffbar, falls $f':D\to\C$ stetig ist. Falls $f'$ wieder (bei $x_0\in D$) diffbar, so heißt $(f')':=f''$ bzw. $(f')'(x_0):=f''(x_0)$ zweite Ableitung von f (bei $x_0$). Entsprechend $f'''$, allgemein $f^{(k)}(x_0)$ bzw. $f^{(k)}$ (k-te Ableitung), $f^0:=f$. f heißt k-mal stetig diffbar, falls $f^{(k)}$ auf D existiert und stetig ist. In Zeichen: $f\in \m{C}^k(D,\C~(bzw.~\R))$. $f\in\m{C}^0(\C (\R))$ bedeutet $f:D\to\C$ stetig. $\m{C}^\infty(D,\C(\R))$ bedeutut beliebig oft diffbare Funktion. Für $f:[a,b]\to\R$ bedeutet $f'(a)$ die rechtsseitige Ableitung ($\lim\limits_{\substack{x\to a\\x>a}}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$), für $f'(b)$ die linksseitige Ableitung ($\lim\limits_{\substack{x\to b\\x0$, die Potenzreihe $\sum a_n(z-z_0)^n$ konvergiere auf $B(z_0,\varrho)$. \begin{itemize} \item[a)] Dann ist die Summenfunktion $f:B(z_0,\varrho)\to\C;~f(z)=\su{n=0}{\infty} a_n(z-z_0)^n$ diffbar und $f'(z)=\su{n=1}{\infty} a_n\cdot n(z-z_0)^{n-1}$ (Gliedweises Differenzieren) . \item[b)] Die abgeleitete Potenzreihe hat den selben Konvergenzradius wie die ursprüngliche. \end{itemize} \begin{Beweis}Beweis: \begin{quote} \begin{itemize} \item[a)] Der Fall $z_0=0$: Für z: $w\in B(0,\varrho),~z\neq w$ ist $\frac{f(z)-f(w)}{z-w}=\frac{\su{n=1}{\infty}a_n(z^n-w^n)}{z-w}$ $=\frac{\cancel{(z-w)}\overbrace{\su{n=1}{\infty}a_n\su{j=0}{n-1}z^j w^{n-j-1}}^{=:\varphi_w(z)}}{\cancel{(z-w)}}=\su{j=0}{\infty}z^j\su{n=j+1}{\infty}a_n w^{n-j-1}$ (Doppelreihe konvergiert bzgl. z gleichmäßig auf $B(0,\tilde{\varrho}),~\tilde{\varrho}:=\frac{|w|+\varrho}{2}$). $\varphi_w$ stetig bei $z=w$, also: ex. $lim\varphi_w(z)=\varphi_w(w)=\su{n=1}{\infty}a_nnw^{n-1}$ Also $f^n(w)$ ex. $=\su{n=1}{\infty}a_nnw^{n-1}$ Falls $z_0\neq0$: Betrachte $\tilde{f}(z)=f(z_0+z),~z\in B(0,\beta)$, wende obigen Fall an. \item[b)] folgt aus $\sqrt[n]{n}\abg{n}{\infty}1$ \end{itemize} \end{quote}\end{Beweis} \end{quote} \subsection{Folgerung} \begin{quote} $exp,~sin,~cos\in \m{C}^\infty(\C,\C)$ und $exp'=exp,~sin'=cos,~cos'=-sin$ \begin{Beweis}Beweis: \begin{quote} $exp'(z)=\su{j=1}{\infty}\kr{j!}\cdot j\cdot z^{j-1}=\su{j=1}{\infty}\frac{z^{j-1}}{(j-1)!}=\su{j=0}{\infty}\frac{z^j}{j!}=exp(z)$ Rest ähnlich oder nach $cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$ \end{quote}\end{Beweis} \end{quote} \subsection{Folgerung} \begin{quote} Falls $f(z)=\su{n=0}{\infty}a_n(z-z_0)^n$ (auf $B(0,\varrho)$ konv. Potenzreihe), so ist $\forall n\in\N:a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}$, also $f(z)=\su{n=0}{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n$ \begin{Beweis}Beweis: \begin{quote} $f(z)=\su{k=0}{n}a_k(z-z_0)^k+\su{k=n+1}{\infty}a_k(z-z_0)^k$, $f^{(n)}(z_0)=a_n\cdot n!+0+0$, $a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}$ \end{quote}\end{Beweis} \end{quote} \subsection{Folgerung: Identitätssatz für Potenzreihen} \begin{quote} Seien $f(z)=\sum a_n(z-z_0)^n,~g(z)=\sum b_n(z-z_0)^n$ auf $B(z_0,\varrho)$ konv. Potenzreihen und es gebe $(w_j)\subset B(z_0,\varrho), w_j\to z_0, w_j\neq z_0$, $\forall j\in\N:f(w_j)=g(w_j)$. Dann $\forall n\in\N_0:a_n=b_n$ \begin{Beweis}Beweis: \begin{quote} $f(z_0)=\lim\limits_{j\to\infty} f(z_j)=\lim\limits_{j\to\infty} g(w_j)=g(z_0)=a_0=b_0$ Sei $a_j=b_j,~j=0,...,n$ gezeigt. Dann $f(z)-g(z)=\su{j\geq n+1}{}(a_j-b_j)(z-z_0)^{n+1}=(z-z_0)\underbrace{\su{k=0}{\infty}(a_{n+1+k}-b_{n+1+k})(z-z_0)^k}_{=:h(z)}$ Für $j\in\N:~0=f(w_j)-g(w_j)=\underbrace{(w_j-z_0^{n+1})}_{\neq 0}\cdot h(w_j)$, also $h(z_0)=0=a_{n+1}-b_{n+1}$. Somit $\forall n\in\N_0:a_n=b_n$. \end{quote}\end{Beweis} \end{quote} \subsection{Definition: Lokale (und andere) Extrema} \begin{quote} Sei $D\subset \C,~f:D\to\R$. $f$ hat bei $x_0\in D$ ein lokales Maximum (Minimum) $\Leftrightarrow$ $\exists \delta>0\forall x\in D\cap B(x_0,\delta):f(x)\leq(\geq)f(x_0)$. Ein Max (Min) bei $x_0$ heißt strikt, falls für $x\neq x_0$ die Ungleichung strikt ist ($<(>)$ statt $\leq(\geq)$) Ein Max (Min) bei $x_0$ heißt global, falls $\forall x\in D: f(x)\leq(\geq) f(x_0)$ \end{quote} \subsection{Extrema \& Ableitungen} \begin{quote} Sei $f$ bei $x_0$ diffbar und habe dort ein lokales Extremum (Max/Min). Dann ist $f'(x_0)=0~(f:D\to\R,~D\subset\R)$ \begin{Beweis}Beweis: \begin{quote} Da $f$ diffbar bei $x_0$ ist $x_0$ innerer Punkt von D, also ex. $\delta>0$ mit $\underbrace{(x_0-\delta,x_0+\delta)}_{=:I}\subset\R$ und $f(x_0)$ größter/kleinster Funktionswert in I. Für $x\in I,~x\neq x_0$ ist im Fall "`Max"' $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\begin{cases}\leq 0&\text{,falls } x>0\\\geq 0&\text{,falls } x<0\end{cases}$ Folgt $\lim\limits_{\substack{x\to x_0\\x\neq x_0}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=0$. Fall "`Min"' analog. \end{quote}\end{Beweis} Beispiel: \begin{quote} $f:[0,1]\to\R,~f(x)=x,~f$ hat bei 0 Minimum, bei 1 Maximum, aber $f'(0)\neq 0~~\wedge~~f'(1)\neq 0$ \end{quote} \end{quote} \end{quote}\newpage \section{Mittelwertsatz, Monotonie \& Logarithmus} \begin{quote} \subsection{Satz von Rolle} \begin{quote} \parpic(2cm,2cm)(0cm,1cm)[r]{\includegraphics[width=0.2\textwidth]{Maphy_Bilder/12_1.PNG}}Sei $f:[a,b]\to\R$ st. und auf $(a,b)$ diffbar und $f(a)=f(b)=0$. Dann ex. $\xi\in(a,b)$ mit $f'(\xi)=0$ \begin{Beweis}Beweis: \begin{quote} Nach §6 nimmt auf $[a,b]$ ein Max und ein Min an, etwa bei $\xi_1$ bzw. $\xi_2$. Falls $\{\xi_1,\xi_2\}\subset\{a,b\}$, so $f=0$ auf $[a,b]$. Behauptung klar. Sonst ex. $j\in\{1,2\}$ mit $\xi_j\in(a,b)$. Nach 11.14: $f'(\xi_j)=0$ \end{quote}\end{Beweis} \end{quote} \subsection{Mittelwertsatz} \begin{quote} \parpic(0cm,3cm)(0cm,1cm)[r]{\includegraphics[width=0.15\textwidth]{Maphy_Bilder/12_2.PNG}}Sei $f:[a,b]\to \R$ st. und auf $(a,b)$ diffbar. Dann ex. $\xi\in(a,b)$ mit $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)$ \begin{Beweis}Beweis: \begin{quote} $\varphi:[a,b]\to \R$, $\varphi(r):=f(t)-(f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(1-a))$ $\varphi$ ist st. und auf $(a,b)$ diffbar. $\varphi(a)=0$, $\varphi(b)=0$. Nach Rolle ex. $\xi\in(a,b):\varphi'(\xi)=0=f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ \end{quote}\end{Beweis} \end{quote} \subsection{Folgerung: Ableitung \& Monotonie} \begin{quote} Falls f auf $(a,b)$ diffbar und auf $[a,b]$ st., so gilt: $f'\geq 0~(>0)$ auf $(a,b)\Rightarrow$ f (streng) wachstend auf $[a,b]$. $f'\leq 0~(<0)$ auf $(a,b)\Rightarrow$ f (streng) fallend auf $[a,b]$. \begin{Beweis}Beweis: \begin{quote} Falls z.B. $f'>0$ auf $(a,b)$, so ex. für $x,y\in[a,b],~x0}=f'(\xi)>0$, also $f(y)>f(x)$. Rest analog. \end{quote}\end{Beweis} \end{quote} \subsection{Folgerung} \begin{quote} Sei $x_0$ innerer Punkt des Intervalles I und sei $f:I\to\R$ diffbar, in $x_0$ zweimal diffbar. Dann gilt: $f'(x_0)=0, f''(x_0)>0\Rightarrow f$ hat lokales Minimum. Dann gilt: $f'(x_0)=0, f''(x_0)<0\Rightarrow f$ hat lokales Maximum. \begin{Beweis}Beweisidee: \begin{quote} Falls $f'(x_0)=0f'(x_0)& \text{ falls }x>x_0\\0)$ Also ex. $\delta>0$ mit f str. steigend auf $[x_0,x_0+\delta]$ bzw. fallend auf $[x_0-\delta,x_0]$. Somit bei $x_0$ lokales Minimum. \end{quote} \end{Beweis} Bemerkung: \begin{quote} Unter der Vorr. von 12.4 gilt: $f$ hat bei $x_0$ lok. Min$\Rightarrow f''(x_0)\geq 0$ bzw. $f$ hat lokales Max$\Rightarrow f''(x_0)\leq 0$. \end{quote} \end{quote} \subsection{Satz: Ableitung der Umkehrfunktion} \begin{quote} Sei $f:[a,b]\to \R$ diffbar und $f'>0 (<0)$. Dann ist $f$ injektiv und die Umkehrfunktion $f^{-1}:\underbrace{f([a,b])}_{Bild}\to[a,b]$ ist diffbar, es gilt: $(f^{-1})'(y)=\kr{f'(f^{-1}(y))} = f'(f^{-1}(y))^{-1} (\forall y \in f([a,b]))$ \begin{Beweis}Beweisidee: \begin{quote}\parpic(0cm,3cm)(0cm,2cm)[r]{\includegraphics[width=0.2\textwidth]{Maphy_Bilder/12_5.PNG}} $x\stackrel{f}{\mapsto}f(x)=y\stackrel{f^{-1}}{\mapsto}x$ "`$\stackrel{f}{\mapsto}$"': lokaler Streckfaktor $\approx f'(x)$ "`$\stackrel{f^{-1}}{\mapsto}$"': lokaler Streckfaktor $\approx\kr{f'(x)}\approx f^{(-1)}(y)$ \end{quote}\end{Beweis} \end{quote} \subsection{Folgerung \& Definition: log} \begin{quote} \parpic(4cm,4cm)(0cm,2cm)[r]{\includegraphics[width=0.2\textwidth]{Maphy_Bilder/12_6.PNG}} Die auf $\R$ eingeschränkte exp-Funktion $exp|_\R:\R\to\R$ ist positiv und streng wachsend mit $exp(\R)=(0,\infty)$. Sie hat eine Umkehrfunktion $log:(0,\infty)\to\R$. Es gilt: $log'(x)=\kr{x}~(x\in (0,\infty))$ \begin{Beweis}Beweis: \begin{quote} \begin{itemize} \item[1.]Für $x\geq 0: exp(x)=1+x-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}-...\geq 1$. Für $x<0: exp(x)=exp(-x)^{-1}\in(0,1)$. \item[2.]Wegen $exp'=exp>0$ ist exp str. wachsend. Weiter $exp'(x) \abbn{\longrightarrow}{x\to\infty}{\normalsize}{\footnotesize}\infty$, $exp'(x)\abbn{\longrightarrow}{x\to-\infty}{\normalsize}{\footnotesize}0$. Mit ZWS folgt: $exp(\R)=(0,\infty)$. Ex. die Umkerhfunktion $log:(0,\infty)\to\R$ klar. Nach 12.5 ist für $y \in(0,\infty): log'(y)=\kr{exp'(log(y))}=\kr{exp(log(y))}=\kr{y}$. \end{itemize} \end{quote} \end{Beweis} \end{quote} \subsection{Definition: Allgemeine Potenz} \begin{quote} Für $\alpha, x>0$ sei $x^\alpha=exp(\alpha\cdot log(x))$ \end{quote} \subsection{Rechenregeln} \begin{quote} Für $x,y>0$, $\alpha$, $\beta\in\R$ ist $log(xy)=log(x)+log(y)$, $log(\frac{x}{y}=log(x)-log(y)$, $log(x^\alpha)=\alpha\cdot log(x)$, $x^{\alpha+\beta}=x^\alpha\cdot x^\beta$ \begin{Beweis}Beweis: \begin{quote} folgt im wesentlichen aus Funktionalgleichungs für exp. z.B. $xy=exp(log(xy))=exp(log(x)+log(y))=exp(log(x))\cdot exp(log(y))=x\cdot y$, also da exp auf $\R$ inj. $log(xy)=log(x)+log(y)$. \end{quote}\end{Beweis} \end{quote} \subsection{Satz: e-Funktion schlägt alles tot} \begin{quote} Für $\alpha\in\R$ und $\lambda>0$ ist $\lim\limits_{x\to\infty}x^\alpha\cdot e^{-\lambda x}=0$ \begin{Beweis}Beweis: \begin{quote} Sei $\alpha \in\R$. Für $x\geq 1 $ ist $|x^\alpha|\leq x^{|\alpha|}$. Es ex. ein $j_0\in \N$ mit $j_0\geq |\alpha|+1$. Für $x\geq 1$ ist $|\frac{x^\alpha}{e^x}|\leq\frac{x^{|\alpha|}}{1+\lambda x+\frac{\lambda^2}{2!}x^2+...+\frac{\lambda^{j_0}}{j_0!}x^{j_0}+...}\leq\frac{x^{|\alpha|}}{\frac{\lambda^{j_0}}{j_0!}x^{j_0}} \leq \frac{j_0!}{\lambda j_0}\cdot \frac{x^{|\alpha|}}{x^{|\alpha|+1}}=\frac{j_0!}{j_0}\cdot \kr{x}\abg{x}{\infty}0$ \end{quote}\end{Beweis} \end{quote} \subsection{Folgerung: Potenzwachstum stärker als logarithmisches} \begin{quote} Für $\alpha>0$ ist: \begin{itemize} \item[a)]$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{log(x)}{x^\alpha}\to 0$ \item[b)]$\lim\limits_{x\to 0}x^\alpha \cdot log(x)\to 0$ \end{itemize} \end{quote} \subsection{Definition: Allgemeine Exp-Funktionen, allgemeiner Logarithmus} \begin{quote} Für $a>0$ und $x\in\R$ ist $a^x=exp(log(a^x))$. Man setzt $log_a(x)=\frac{log(x)}{log(a)}$. Dann $a^{log_a(x)}=x$. Speziell: $log_{10}$: Zehner-Logarithmus/dekadischer Logarithmus \end{quote} \subsection{Bemerkung} \begin{quote} Für $|x|<0$ ist $log(x+1)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}-\frac{x^4}{4!}+...$ \end{quote} \end{quote} \section{Taylorsche Satz} \begin{quote} Sei $f(z):=\su{n=0}{\infty}a_n(z-z_0)^n$ in einer Kreisscheibe um $z_0$. (Dann: $a_n=\frac{f^{(n)}(z_0}{f^{(n)}n!}$) Das k-te Taylorpolynom bei $z_0$ ist def. durch $(T_{z_0}^k f)(z):=\su{n=0}{\infty}\frac{f^{(n)}z_0}{n!}\cdot (z-z_0)^n$. $T_{z_0}^k f\to f$ sogar glm. auf jedem Kreis um $z_0$. Taylorsche Satz beschreibt den Approximationsfehler und zwar auch für $f$, die nicht unbedingt durch Potenzreihe gegeben sind. \subsection{Bemerkung} \begin{quote} $\frac{d}{dt}\bigg((T_{t}^k f)(z)\bigg)=\frac{f^{(k+1)}(t)\cdot (z-k)^k}{k!}$, falls $f^{(k+1)}(t)$ ex. \end{quote} \subsection{Satz: Taylor} \begin{quote} Sei $I\subset\R$ off. Intervall, $k\in\N_0$ mit $f:I\to\R (k+1)$ mal diffbar. Dann ex. für $x_0, x\in I, x\neq x_0$ ein $\xi$ zwischen $x_0$ und $x$, so dass gilt: $f(x)=\underbrace{f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2+... +\frac{f^{(k)}x_0}{k!}(x-x_0)^k}_{=(T_{x_0}^k f)(x)} + \underbrace{\frac{f^{(k+1)}(\xi)}{(k+1)!}(x-x_0)^{k+1}}_{Lagrange-Restglied}$ \begin{Beweis}Beweis: \begin{quote} Es ex. genau ein $\varrho\in\R$ mit $f(x)-(T_{t}^k f)(x)=\frac{\varrho(x-x_0)^{k+1}}{(k+1)!}$. z.z: $\exists\xi~zw.~ x_0,x:\varrho=f^{(k+1)}(\xi)$. Für $g:I\to\R$, $g(t):=f(x)-(T_{t}^k f)(x)-\frac{\varrho(x-t)^{k+1}}{(k+1)!}$ gilt: $g(x_0)=0$ (Wahl von $\varrho$) $\Rightarrow g(x)=f(x)-(T_{t}^k f)(x)=0$. Nach Rolle ex. $\xi$ zwischen $x_0 $ und $x$: $0=g'(\xi)=-\frac{f^{(k+1)}(\xi)(x-\xi)^k}{k!}-\frac{\varrho}{(k+1)!}\cdot (k+1)(x-\xi)^k\cdot(-1)$ Also $0=-f^{(k+1)}(\xi)(x-\xi)^k-\varrho (x-\xi)^k$, $\varrho f^{(k+1)}(\xi)$. \end{quote}\end{Beweis} Bemerkung: \begin{quote} Falls $f$ beliebig oft diffbar, kann es sein, dass: Schlecht: \begin{itemize} \item[1)]die Taylorreihe $\su{n=0}{\infty}\frac{f^(n)(z_0)}{n!}(z-z_0)^n$ nur für $z=z_0$ konvergiert. \item[2)]die Taylorreihe in einem Kreis um $z_0$ konvergiert, aber nicht glm. gegen $f(z)$. \end{itemize} Gut: \begin{itemize} \item[3)]die Taylorreihe in einem Kreis um $z_0$ gegen $f$ konvergiert. \end{itemize} Welcher Fall eintritt hängt davon ab, wo die Taylorreihe konvergiert bzw. wo das Restglied gegen 0 geht (für $k\to\infty$). \end{quote} Beispiel: \begin{quote} $f(x):=\begin{cases}0&x=0\\e^{-\kr{x^2}}&x\neq 0\end{cases}, f\in C^\infty(\R,\R)$, (Idee: Für Polynomfunktion p von $\lim\limits_{x\to0}p(\kr{x})e^{-\kr{x^2}}=0$) $\forall k\in \N:f^{(k)}(0)=0$, $\forall k\in\N_0\forall x\in\R:(T_0^kf)(x)=0$ Ähnlich $g(x):=\begin{cases}0&x\leq0\\e^{-\kr{x}}&x>0\end{cases}$ \end{quote} \end{quote} \subsection{Anwendung: Abschätzung von \texorpdfstring{$cos(z)$}{cos(z)}} \begin{quote} $cos(x)=\underbrace{cos(0)}_{1}+\underbrace{cos'(0)}_{0}x+\underbrace{\frac{cos''(0)}{2!}}_{-\kr{2}}x^2 +\underbrace{\frac{cos'''(0)}{3!}}_{0}x^3+\underbrace{\frac{cos^{(4)}(\xi)}{4!}}_{|...|\leq\kr{4!}}x^4$ $cos(2)=1-\kr{2}\cdot 2^2+R$, $|R|\leq \kr{4!}cdot 2^4=\frac{16}{24}=\frac{2}{3}\Rightarrow cos(2)$. Also $cos(2)<0$. \end{quote} \end{quote} \section{Weitere elementare Funktionen} \begin{quote} \subsection{Satz \& Definition: \texorpdfstring{$\pi$}{Pi}} \begin{quote} Es ist $cos(0)=1$, $cos(z)<0$, $cos$ hat in $[0,2]$ eine kleinste NS $\xi$ und $\xi>0$. Man definiert $\pi=2\xi$, also $\xi=\frac{\pi}{2}$. \end{quote} \subsection{Folgerung: Symmetrien von sin bzw. cos} \begin{quote} \parpic(0cm,3cm)(1cm,3cm)[r]{\includegraphics[width=0.35\textwidth]{Maphy_Bilder/14_2.PNG}} Für $x\in\R$ gilt: \begin{itemize} \item[a)]$cos(-x)=cos(x)$, $sin(-x)=-sin(x)$ \item[b)]$cos(\frac{\pi}{2}-x)=sin(x)$, $sin(\frac{\pi}{2}-x)=cos(x)$ \item[c)]$cos(x\pm\pi)=-cos(x)$, $sin(x\pm\pi)=-sin(x)$ \item[d)]$cos(x\pm2\pi)=cos(x)$, $sin(x\pm2\pi)=sin(x)$ \item[e)]$sin'(x)>0$ auf $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$, $sin'(x)<0$ auf $(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2})$ \end{itemize} \begin{Beweis}Beweis: \begin{quote} \begin{itemize} \item[a)]aus Reihenentwicklung. \item[e)]1. Teil: $sin'(x)=cos(x)>0$ auf $(0,\frac{\pi}{2})$ nach Def. von $\pi$. Auch auf $(-\frac{\pi}{2},0)$ wegen Symmetrie! \item[b)] $cos(\frac{\pi}{2}-x)=cos(\frac{\pi}{2})\cdot cos(-x)-\underbrace{sin(\frac{\pi}{2})sin(-x)}_{\substack{cos^2+sin^2=1\\sin~steigend\\auf~[0,\frac{\pi}{2}]}}=sin(x)$, Rest leicht. \item[c), d)] leicht. \item[e)]2. Teil: $sin'(x)=cos(x)=\underbrace{-cos(\underbrace{x-\pi}_{\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})})}_{<0}$ für $x\in(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2})$ \end{itemize} \end{quote}\end{Beweis} \end{quote} \subsection{Definition} \begin{quote} \parpic(0cm,2cm)(0cm,1.3cm)[r]{\includegraphics[width=0.2\textwidth]{Maphy_Bilder/14_3_1.PNG}} Für $z\in\Z$, $cos(z)\neq 0: tan(z):=\frac{sin(z)}{cos(z)}$. Falls $sin(z)\neq 0: cot(z):=\frac{cos(z)}{sin(z)}$\parpic(0cm,2cm)(1cm,4cm)[r]{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Maphy_Bilder/14_3_2.PNG}} Reelle Versionen: $cot:\R\setminus\{k\pi|k\in\Z\}\to\R$, $tan:\R\setminus\{\frac{\pi}{2}+k\pi|k\in\Z\}\to\R$, $tan'(x)=\kr{cos^2(x)}$, $cot'(x)=\kr{sin^2(x)}$ \end{quote} \subsection{Satz/Definition: Inverse trigonometrische Funktionen} \begin{quote} $sin|_{[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]}$, $cos|_{[0,\pi]}$, $tan|_{(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})}$ sind streng monoton und haben Umkehrfunktionen, die mit $arcsin:[-1,1]\to[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$, $arcsin:[-1,1]\to[0,\pi]$, $arctan:\R\to(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ bezeichnet werden können. Für $x\in (-1,1)$ (für $arcsin/arccos$) bzw. für $x\in\R$ (für $arctan$) gilt: $arcsin'(x)=\kr{\sqrt{1-x^2}}$, $arccos'(x)=-\kr{\sqrt{1-x^2}}$, $arctan'(x)=\kr{1+x^2}$ \begin{Beweis}Beweis: \begin{quote} Monotonie klar. Ableitung: $arcsin'(x)=\kr{sin'(arcsin(x)}=\kr{cos(arcsin(x))}=\kr{\sqrt{1-sin^2(arcsin(x))}}=\kr{\sqrt{1-x^2}}$ $arccos'(x)=\kr{cos'(arccos(x)}=-\kr{sin(arccos(x))}=-\kr{\sqrt{1-cos^2(arccos(x))}}=-\kr{\sqrt{1-x^2}}$ $arctan'(x)=\kr{tan'(arctan(x)}=cos^2(arctan(x))=\kr{1+tan^2(arctan(x))}=\kr{1+x^2}$ \end{quote}\end{Beweis} Weitere Funktionen: \begin{quote} $sinh(z)=\frac{e^z-e^{-z}}{2}, cosh(z)=\frac{e^z+e^{-z}}{2}, tanh(z)=\frac{sinh(z)}{cosh(z)}$ $sinh^2(z)-cosh^2(z)=1$ \end{quote} \end{quote} \end{quote} \section{Integration} \begin{quote} \subsection{Definition} \begin{quote}\parpic(4cm,2cm)(1.5cm,2cm)[r]{\includegraphics[width=0.25\textwidth]{Maphy_Bilder/15_1.PNG}} Zerlegung: $\m{Z}=(t_0,...,t_k)$ von $[a,b]$, $a=t_00$, $\delta>0$ so , dass $\forall t,s\in[a,b],|t-s|<\delta:|f(t)-f(s)|<\varepsilon$ (f glm. st) Ergibt: $|S(\m{Z},\xi,f)-s(\tilde{\m{Z}},\tilde{\xi},f)|\leq \varepsilon \su{j}{}\tilde{t}_j-\tilde{t}_{j-1}=\varepsilon b\cdot a$ Weiter: Für bel. Zerlegungen $\m{Z}, \tilde{\m{Z}}$: Gemeinsame Verfeinerung $\hat{\m{Z}}$, dazu ZV $\hat{\xi}$, $S(\m{Z},...)\stackrel{\varepsilon}{\leftrightarrow}S(\tilde{\m{Z}},...)\stackrel{\varepsilon/2}{\leftrightarrow}S(\hat{\m{Z}},...)\stackrel{\varepsilon/2}{\leftrightarrow}S(\m{Z},...)$ Schließlich: Falls $(\m{Z}_1^{(n)})$ und $(\m{Z}_2^{(n)})$ ZNF, $(\xi_1^{(n)})$ und $(\xi_2^{(n)})$ passende ZVF, so def. $\m{Z}^{(n)}:=\begin{cases}\m{Z}_1^{(n)}&n~gerade\\\m{Z}_2^{(n)}&n~ungerade\\\end{cases}$ Entspr. ZVen $\xi_n^{(n)}$ (Folgenmischung). Dann auf $(S(\hat{\m{Z}}^{(n)},\hat{xi}^{(n)},f)$ konv. Es folgt $lim S(\m{Z}_1^{(n)},...)=lim S(\m{Z}_2^{(n)},...)$ \end{quote}\end{Beweis} \end{quote} \subsection{Bemerkung} \begin{quote} \begin{itemize} \item[a)]\parpic(4cm,1cm)(2cm,2cm)[r]{\includegraphics[width=0.25\textwidth]{Maphy_Bilder/15_3.PNG}}Falls $f:[a,b]\to\R$ stückweise stetig, d.h. Es ex. Zuerlegung $a=t_0t_{i-1}}}f(t)$ und $\lim\limits_{\substack{t\to t_{i-1}\\t0$ ex. $\int_\delta^1\frac{dx}{\sqrt{x}}$ ($=2\sqrt{1}-2\sqrt{\delta}$), Also hat limes 2 für $\delta\to 0$, also $\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x}}=2$. \end{quote} \end{quote} \subsection{Eigenschaften des Integrals} \begin{quote} \begin{itemize} \item[a)]$\int f+\lambda g=\int f+ \lambda\int g$ (Linearität) \item[b)]$f\leq g\Rightarrow \int f\leq \int g$ (Monotonie) \item[c)]$|\int f|\leq \int|f|$ (Dreiecksungleichung) \item[d)]$\int_a^b f(x)dx=\int_a^cf(x)dx + \int_c^b f(x)dx$ (falls $c\in[a,b]$, auch für bel. c, wenn man im Fall $\int_a^cf(x)dx=-\int_c^a f(x)dx$ setzt) \end{itemize} (Alles, falls Integrale ex.) a), c), d) auch für komplexwertige Funktionen. \begin{Beweis}Beweis: \begin{quote} Idee: Riemannsche Summen, Grenzübergang. \end{quote}\end{Beweis} \end{quote} \subsection{Definition} \begin{quote} Sei $f:I\to\R$ (I Intervall), $F:I\to\R$ heißt Stammfunktion zu f, falls $F'$ ex. und $F'=f$. Bemerkung: \begin{quote} Wenn F,G Stammfu'n zu f auf I, so ex. Konstante c mit $G(x)=F(x)+c \forall x\in I$ \end{quote} \begin{Beweis}Beweis: \begin{quote} $(F-G)'=f-f=0$ auf I. Mit Mittelwertsatz folgt: $F-G$ konstant. \end{quote}\end{Beweis} \end{quote} \subsection{Hauptsatz der Differential- \& Integralrechnung (HDI)} \begin{quote} Sei f aus $C^0([a,b],\R)$ und $F:[a,b]\to\R$, $F(x):=\int_0^xf(t)dt$. Dann ist F Stammfunktion zu f und für jede Stammf. $G:[a,b]\to\R$ zu f gilt: $\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)=G(b)-G(a)$ (Schreibweise $[G(x)]_a^b$) \begin{Beweis}Beweis: \begin{quote}\parpic(2.5cm,1cm)(1.9cm,1.3cm)[r]{\includegraphics[width=0.2\textwidth]{Maphy_Bilder/15_6.PNG}} Sei $x_0\in[a,b]$ und $\varepsilon>0$ ($|F(x)-F(x_0)-f(x_0)(x-x_0)|<\varepsilon|x-x_0|$) \newline Da f stetig bei $x_0$ ex. $\delta>0$ mit $\forall x \in [a,b]$, $|x-x_0|<\delta:|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$. \newline Für solche x ist $|F(x)-F(x_0)-f(x_0)(x-x_0)|=|\int_0^x f(t)dt-\int_0^{x_0}f(t)dt-f(x_0)(x-x_0)|=|\int_{x_0}^xf(t)dt-\int_{x_0}^xf(x_0)dt|=|\int_{x_0}^xf(t)-f(x_0)dt|\leq |\int_{x_0}^x|f(t)-f(x_0)|dt|\leq |\int_{x_0}^x \varepsilon dt|=\varepsilon|x-x_0|$. \newline Also: $F'(x_0) ex. = f(x_0)$. Weiter: $\int_a^b f(t)dt = F(b)-\underbrace{F(a)}_{=0}=G(b)-G(a)$ (Für jede andere Stammfunktion) \end{quote}\end{Beweis} \begin{Beweis}Physikalischer "`Beweis"': \begin{quote} $dF=f(x_0)dx+\Delta$ (ignoriert)$\Rightarrow \frac{dF}{dx}=f(x_0)$. \newline Genauer: $\Delta F=\Delta x\cdot f(x_0)+\Delta$ (Klein gegenüber $\Delta x$ im Sinne von $\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta}{\Delta x}=0 \Rightarrow \frac{\Delta F}{\Delta x}=f(x_0)+\underbrace{\Delta x}_{\Delta x\to 0}$ \end{quote}\end{Beweis} \end{quote} \subsection{Weitere Integrationsregeln} \begin{quote} \begin{itemize} \item[a)] Sei $f \in\C^0([a,b],\R), g\in C^1([a,b],\R)$ und $F:[a,b]\to\R$ Stammfunktion zu f. Dann $\int_a^bf(x)g(x)dx=[F(x)g(x)]_a^b-\int_a^bF(x)g'(x)dx$ (Partielle Integration) \item[b)] Sei $f:[a,b]\to\R$ stetig, $\varphi:[c,d]\to[a,b]$ st. diffbar. Dann ist $\int_c^df(\varphi(u))\varphi(u)=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(x)dx$ (Substitution) Formal: $x=\varphi(u), dx=\varphi'(u)du$ \end{itemize} \begin{Beweis}Beweis: \begin{quote} \begin{itemize} \item[a)] $(Fg)'=fg++Fg'$, Integration über $[a,b]$ ergibt $[Fg]_a^b=\int_a^bfg+\int_a^b Fg'$ Daraus folgt Behauptung. \item[b)] $(F\circ \varphi)'(u)=f(\varphi(u))\cdot \varphi'(u) (u\in[c,d])$. Integration über $[c,d]: [F\circ\varphi]_c^d=\int_c^d f(\varphi(u))\cdot \varphi'(u)du$ $[F\circ\varphi]_c^d=F(\varphi(d))-F(\varphi(c))=[F]_{\varphi(c)}^{\varphi(d)}=\int_{\varphi(c)}^{\varphi(d)}f(x)dx$ \end{itemize} \end{quote} \end{Beweis} Bemerkung: \begin{quote} Falls $u,v$ in $C^1([a,b],\R)$ und $[u\cdot v]_a^b=0$ (z.B. falls $u(a)=u(b)=0$), so ist $\int_a^bu'(x)v(x)dx=\underbrace{[u(x)v(x)]_a^b}_{0}-\int_a^bu(x)v'(x)dx$, also $\int_a^b u'(x)v(x)dx=-\int_a^bu(x)v'(x)dx$ (Überwälzen der Differentiation gibt Minuszeichen) \end{quote} \end{quote} \subsection{Satz: Vertauschung Integral und limes} \begin{quote} Sei $f_n\in C^0([a,b],\R)$, $f\in C^0([a,b],\R)$, $f_n\to f$ glm auf $[a,b]$, dann $\int_a^b f_n(x)dx\to \int_a^b(x)dx$ Dann nach Weierstraß $f\in C^0([a,b],\R)$. \begin{Beweis}Beweis: \begin{quote} zu $\varepsilon>0$ existiert ein $N\in\N:\forall n\geq N\forall x\in[a,b]:|f_n(x)-f(x)|\leq \varepsilon$ Für $n\geq N:|\int_a^bf_n(x)dx-\int_a^bf(x)dx|\leq\int_a^b\underbrace{|f_n(x)-f(x)|}_{\leq\frac{\varepsilon}{b-a}}dx\leq \varepsilon$ \end{quote}\end{Beweis} \end{quote} \subsection{Folgerung} \begin{quote} $f_n\in C^1([a,b],\R)$, $f_n\to f$ glm auf $[a,b]$. Weiter $f_n'$ konv. glm auf $[a,b]$ gegen $\varphi:[a,b]\to \R$ (Dann $\varphi$ stetig nach Weierstraß). Dann auch $f\in C^1([a,b],\R)$, $f'=\varphi$ ($=\lim\limits_{n\to\infty} f_n'$) \begin{Beweis}Beweis: \begin{quote} $f_n(x)=f_n(a)+\int_a^xf_n'(t)dt\Rightarrow f(x)=f(a)+\int_a^x\varphi(t)dt$ (15.8) mit HDI: f diffbar, $f'(x)=\varphi(x)$ \end{quote}\end{Beweis} \end{quote} \end{quote} \end{document}