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\documentclass{scrartcl} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[ngerman]{babel} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{geometry} \usepackage{lastpage} \usepackage{graphicx} \usepackage[automark]{scrpage2} \pagestyle{scrheadings} \ifoot{Julian Bergmann\\Florian Greiner\\Timo Grosch\\Julia Welsch} \cfoot{12.10.2009} \ofoot{\thepage / \pageref{LastPage}} \chead[]{} \geometry{a4paper,left=40mm,right=30mm, top=1cm, bottom=3cm} \fontsize{10}{16}\selectfont \newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1}} \newcolumntype{x}{>{\centering\arraybackslash}X} \newcolumntype{L}[1]{>{\raggedleft\arraybackslash}p{#1}} \renewcommand{\arraystretch}{1.4} \begin{document} \section{Übungen zu Mathematik für Physiker zum Dienstag, dem 20.10.2009} \subsection{Zeigen Sie für beliebige Mengen A,B,C:} \begin{quote} $A \setminus (B \cup C)=(A \setminus B) \cap (A \setminus C)$: \begin{quote} \parskip 0pt sei $x\in A \setminus (B \cup C)$ beliebig, dann: =$x\in A \wedge \neg(x\in B \vee x\in C)$ =$x\in A \wedge (\neg x\in B \wedge \neg x\in C)$ =$x\in A \wedge x\in A \wedge \neg x\in B \wedge \neg x\in C$ =$x\in A \wedge \neg x\in B \wedge x\in A \wedge \neg x\in C$ =$x\in (A \setminus B) \cap (A \setminus C)$ $\Rightarrow A \setminus (B \cup C) \subseteq (A \setminus B) \cap (A \setminus C)$ \parskip 12pt sei $x\in (A \setminus B) \cap (A \setminus C)$ beliebig, dann: \parskip 0pt =$x\in A \wedge \neg x\in B \wedge x\in A \wedge \neg x\in C$ =$x\in A \wedge x\in A \wedge \neg x\in B \wedge \neg x\in C$ =$x\in A \wedge (\neg x\in B \wedge \neg x\in C)$ =$x\in A \wedge \neg(x\in B \vee x\in C)$ =$x\in A \setminus (B \cup C)$ $\Rightarrow A \setminus (B \cup C) \supseteq (A \setminus B) \cap (A \setminus C)$ \parskip 12pt $\Longrightarrow A \setminus (B \cup C)=(A \setminus B) \cap (A \setminus C)$ \end{quote} \parskip 0pt $A \setminus (B \setminus C) = (A \setminus B) \cup (A\cap C)$ \begin{quote} \parskip 0pt sei $x\in A \setminus (B \setminus C)$ beliebig, dann: =$x\in A \wedge \neg(x\in B \wedge \neg x\in C)$ =$x\in A \wedge (\neg x\in B \vee x\in C)$ =$(x\in A \wedge \neg x\in B) \vee (x\in A \wedge x\in C)$ =$x\in (A \setminus B) \cup (A\cap C)$ $\Rightarrow A \setminus (B \setminus C) \subseteq (A \setminus B) \cup (A\cap C)$ \parskip 12pt sei $x\in (A \setminus B) \cup (A\cap C)$ beliebig, dann: \parskip 0pt =$(x\in A \wedge \neg x\in B) \vee (x\in A \wedge x\in C)$ =$x\in A \wedge (\neg x\in B \vee x\in C)$ =$x\in A \wedge \neg(x\in B \wedge \neg x\in C)$ =$x\in A \setminus (B \setminus C)$ $\Rightarrow A \setminus (B \setminus C) \supseteq (A \setminus B) \cup (A\cap C)$ \parskip 12pt $\Longrightarrow A \setminus (B \setminus C)=(A \setminus B) \cup (A \cap C)$ \parskip 0pt \end{quote} $A \setminus (A \setminus B) = A\cap B$ \begin{quote} \parskip 0pt sei $x\in A \setminus (A \setminus B)$ beliebig, dann: =$x\in A \wedge \neg(x\in A \wedge \neg x\in B)$ =$x\in A \wedge (\neg x\in A \vee x\in B)$ =$(x\in A \wedge \neg x\in A) \vee (x\in A \wedge x\in B)$ =$(x\in A \wedge x\in B)$ =$x\in (A\cap B)$ $\Rightarrow A \setminus (A \setminus B) \subseteq (A\cap B)$ \newpage \parskip 12pt sei $x\in (A\cap B)$ beliebig, dann: \parskip 0pt =$(x\in A \wedge x\in B)$ =$(x\in A \wedge \neg x\in A) \vee (x\in A \wedge x\in B)$ =$x\in A \wedge (\neg x\in A \vee x\in B)$ =$x\in A \wedge \neg(x\in A \wedge \neg x\in B)$ =$x\in A \setminus (A \setminus B)$ $\Rightarrow A \setminus (A \setminus B) \supseteq (A\cap B)$ \parskip 12pt $\Longrightarrow A \setminus (A \setminus B)=(A \cap B)$ \parskip 0pt \end{quote} \end{quote} \subsection{Übersetze in Mengeninklusion} \begin{quote} \begin{enumerate} \parskip 0pt \item i) $x \in Z \Rightarrow x \in M^C$ \item ii) $x \in G \Rightarrow x \in T$ \item iii) $x \in G^C \Rightarrow x \in H$ \item iv) $x \in R^C \Rightarrow x \in Z$ \item v) $x \in H \Rightarrow x \in R^C$ \end{enumerate} Zu Zeigen: $x \in M \Rightarrow x \in T$ \begin{enumerate} \parskip 0pt \item $x \in R^C\Rightarrow x \in Z\Rightarrow x \in M^C$ \item $x \in H\Rightarrow x \in R^C\Rightarrow x \in Z\Rightarrow x \in M^C$ \item $x \in G^C\Rightarrow x \in H\Rightarrow x \in R^C\Rightarrow x \in Z\Rightarrow x \in M^C $ \item $x \in G^C\Rightarrow x \in M^C = x \in M\Rightarrow x \in G$ \item $x \in M\Rightarrow x \in G \Rightarrow x \in T$ \end{enumerate} $\Longrightarrow x \in M\Rightarrow x \in T$ \end{quote} \subsection{Zeichne eine NAND-Schaltung} \begin{quote} \parskip 0pt Regeln: \begin{enumerate} \parskip 0pt \item aus Übersichtsgründen: "`NAND"'="`N"' \item $a\vee b=(aNa)N(bNb)$ \item $a\wedge b=(aNb)N(aNb)$ \item $\neg a=aNa$ \end{enumerate} \parskip 0pt Umformulierung: $\Big[(a \vee b) \vee (c \vee \neg d)\Big] \wedge (c \wedge \neg a)\\ =\\ (((((aNa)N(bNb))N((aNa)N(bNb)))\\ N(((cNc)N((dNd)N(dNd)))N((cNc)N((dNd)N(dNd)))))\\ N(cN(aNa))N(cN(aNa)))\\ N(((((aNa)N(bNb))N((aNa)N(bNb)))\\ N(((cNc)N((dNd)N(dNd)))N((cNc)N((dNd)N(dNd)))))\\ N(cN(aNa))N(cN(aNa))) $ Abstraktion in Ebenen zur Grafischen Darstellung: Grundbausteine (1. Ebene): $aNa\rightarrow A; bNb\rightarrow B; cNc\rightarrow C; dNd\rightarrow D\\ \\ (((((A)N(B))N((A)N(B)))N(((C)N((D)N(D)))\\ N((C)N((D)N(D)))))\\ N(cN(A))N(cN(A)))\\ N(((((A)N(B))N((A)N(B)))N(((C)N((D)N(D)))\\ N((C)N((D)N(D)))))\\ N(cN(A))N(cN(A)))$ 2. Ebene: $ANB\rightarrow F; DND\rightarrow G; cNA\rightarrow H\\ $\newpage$ (((FNF)N(((C)NG)N((C)NG)))\\ N(HNH))\\ N(((FNF)N(((C)NG)N((C)NG)))\\ N(HNH))$ 3. Ebene: $FNF\rightarrow I; CNG\rightarrow J; HNH\rightarrow K\\ \\ (((I)N((J)N(J)))NK)N(((I)N((J)N(J)))NK)$ 4. Ebene: $JNJ\rightarrow L\\ \\ (((I)N(L))NK)N(((I)N(L))NK)$ 5. Ebene: $INL\rightarrow M\\ \\ ((M)NK)N((M)NK)$ 6. Ebene: $MNK\rightarrow O\\ \\ (O)N(O)$ Ergebnis: $\Longrightarrow ONO$ \end{quote} \includegraphics[width=1.1\textwidth]{MyPh3.png} \parskip 12pt \bfseries Alternative: Vereinfachung \normalfont \parskip 0pt \begin{quote} Da der Term $a\vee b\vee c\vee \neg d$ dann wahr ist, wenn c wahr ist, c aber für den nachfolgenden Teil $\wedge (c\wedge \neg a)$ Immer wahr sein muss, damit dieser Teil wahr ist, und selbiges lediglich auch auf $\neg a$ zutrifft, lässt sich die Gleichung auf $c\wedge \neg a$, also auf den rechten Teil reduzieren. Zum weiteren Beleg eine Wahrheitstabelle: \includegraphics[width=0.7\textwidth]{Wahrheit_Nand_Vereinfachung.png} \newpage Dies hätte den Vorteil, dass sich dadurch die NAND-Schaltung erheblich vereinfachen würde: $(cn(ana))n(cn(ana))$ was folgende Schaltung ergeben würde: \includegraphics[width=0.7\textwidth]{Vereinf_NAND.png} \end{quote} \subsection{XOR-Verknüpfung} \begin{quote} a) \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline a&b&$(\neg a\wedge b)\vee (a\wedge \neg b)$\\ \hline \hline w&w&f\\ \hline w&f&w\\ \hline f&w&w\\ \hline f&f&f\\ \hline \end{tabular} b) Da das Byte b XOR c durch die bitweise Anwendung der Xor-Verknüpfung definiert ist, lässt sich das Problem des Zeigens auf einfache Bit-Aussagen zurückführen. Folglich gilt: Die Abbildung $f_b=c\rightarrow bXORc, b\in B$ ist invers, sofern gilt: $c=f_b\rightarrow bXORf_b, b\in B$ Aufgrund der Zurückführung auf Bits lässt sich eine Wahrheitstabelle erstellen: \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline b&c&$f_b: c\rightarrow bXORc$&$c: f_b\rightarrow bXORf_b$\\ \hline \hline w&w&f&w\\ \hline w&f&w&f\\ \hline f&w&w&w\\ \hline f&f&f&f\\ \hline \end{tabular} Da hiermit gezeigt wurde, dass $c = f_b\rightarrow bXORf_b$, gilt, dass für beliebiges b und beliebiges c einer beliebig langen Kombination (bei bitweiser Anwendung der XOR-Verknüfung) die Abbildung zu sich selbst invers ist. \end{quote} \end{document}